Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=\sin \frac{2 x}{3}

Passo 1

O enunciado pede o período e o esboço do gráfico da função
f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr).
O conteúdo é análise de funções trigonométricas: usamos a fórmula do período de \sin(Bx), que é
T=\frac{2\pi}{B},
e depois marcamos os pontos-chave para desenhar a curva.

Passo 2

Identificamos o coeficiente angular dentro da função seno:
B=\frac{2}{3}.
Aplicando
T=\frac{2\pi}{B}=\frac{2\pi}{2/3}=3\pi.
Logo, o período de f é 3\pi.

Passo 3

O gráfico de f é o de \sin x com amplitude 1 inalterada e estirado horizontalmente por um fator de
\frac{\text{período novo}}{\text{período padrão}} =\frac{3\pi}{2\pi}=\frac{3}{2}.ííã
Ou seja, cada volta completa agora ocupa de x=0 a x=3\pi.

Passo 4

Vamos marcar os pontos principais num período 0\le x\le3\pi:
\begin{aligned} x&=0 &\Rightarrow f(0)&=\sin0=0,\\\ x&=\tfrac{3\pi}{4} &\Rightarrow f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)&=\sin\bigl(2\cdot\tfrac{3\pi}{4}/3\bigr)=\sin\tfrac{\pi}{2}=1,\\\ x&=\tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow f\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)&=\sin\bigl(2\cdot\tfrac{3\pi}{2}/3\bigr)=\sin\pi=0,\\\ x&=\tfrac{9\pi}{4} &\Rightarrow f\bigl(\tfrac{9\pi}{4}\bigr)&=\sin\bigl(2\cdot\tfrac{9\pi}{4}/3\bigr)=\sin\tfrac{3\pi}{2}=-1,\\\ x&=3\pi &\Rightarrow f(3\pi)&=\sin\bigl(2\cdot3\pi/3\bigr)=\sin2\pi=0. \end{aligned}
Entre esses pontos, a curva sobe e desce suavemente em forma de “seno”.

Resposta

O período de f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr) é
T=3\pi.
O esboço no intervalo [0,3\pi] passa por (0,0)\to(\tfrac{3\pi}{4},1)\to(\tfrac{3\pi}{2},0)\to(\tfrac{9\pi}{4},-1)\to(3\pi,0)
e se repete com esse padrão.

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