Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o período e esboçar o gráfico da função
Informações que o enunciado dá (explicitamente): a função é um cosseno multiplicado por
e com argumento
. As perguntas são: (1) qual o período dessa função? e (2) como esboçar o seu gráfico (uma volta típica e como ele se repete).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aula rapidinha): a forma geral de uma função trigonométrica coseno que aparece muito em provas é
onde
-
é a amplitude: amplitude . Amplitude é a “altura” máxima acima do eixo médio. -
é o coeficiente que atua na horizontal: o período da função é dado por
Explicação curta do porquê: o cosseno original satisfaz
. Se
, queremos
, daí
.
-
determina deslocamento horizontal (fase) e deslocamento vertical. Se não há deslocamento horizontal; se não há deslocamento vertical.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
podemos identificar
,
,
e
. Agora basta usar as fórmulas acima.
Calcule a amplitude:
Calcule o período:
Ou seja, a função completa uma oscilação ao longo do intervalo de comprimento
.
Passo 4
Vamos achar pontos-chave que servem para esboçar uma volta (um período) de
. É prático usar os valores do argumento
correspondentes aos pontos do cosseno padrão:
-
(máximo), -
(zero), -
(mínimo), -
(zero), -
(volta ao máximo).
Agora trocamos
e resolvemos para
:
-
. Então . -
. Então . -
. Então . -
. Então . -
. Então .
Resumo dos pontos-chave de uma volta (de
a
):
Padrões gerais: máximos ocorrem quando
; mínimos quando
; zeros quando
, com
.
Passo 5
Como esboçar passo a passo (na prova, sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . Marque no eixo as linhas horizontais e (essas são as cristas e vales). - No eixo
marque os pontos (escolha essa unidade: medir em múltiplos de facilita). - Plote os pontos-chave calculados:
. - Ligue os pontos com a forma típica da curva cosseno: começa no máximo em
, desce até zero em , atinge mínimo em , sobe para zero em e volta ao máximo em . A curva é suave e simétrica em relação aos pontos médios esperados. - Repita o período para a direita e para a esquerda: a cada
a curva se repete igual.
Observação prática: comparado ao
padrão, aqui a curva está “esticada” horizontalmente: o período original
virou
(ou seja, fator de estiramento
no eixo
). Verticalmente, a amplitude é
(mais alta).
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (ânimo!): sempre calcule amplitude e período primeiro; depois coloque pontos correspondentes a
e transforme de volta para
pela relação
. Isso funciona para qualquer seno ou cosseno com coeficientes. Você consegue — respira, marca os pontos e liga com calma.
Resposta
Período:
.\nEsboço: função cosseno com amplitude
, sem deslocamentos; pontos-chave numa volta:
; o gráfico é a curva cosseno passando por esses pontos e se repete a cada
.