Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=3 \cos \left(\frac{x}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o período e esboçar o gráfico da função
f(x)=3\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Informações que o enunciado dá (explicitamente): a função é um cosseno multiplicado por 3 e com argumento \frac{x}{2}. As perguntas são: (1) qual o período dessa função? e (2) como esboçar o seu gráfico (uma volta típica e como ele se repete).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula rapidinha): a forma geral de uma função trigonométrica coseno que aparece muito em provas é
y=A\cos(Bx+C)+D,
onde
  • A é a amplitude: amplitude =|A|. Amplitude é a “altura” máxima acima do eixo médio.
  • B é o coeficiente que atua na horizontal: o período da função é dado por
\text{período}=\frac{2\pi}{|B|}.í
Explicação curta do porquê: o cosseno original satisfaz \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta. Se \theta=Bx, queremos B(x+T)=Bx+2\pi, daí T=2\pi/B.
  • C determina deslocamento horizontal (fase) e D deslocamento vertical. Se C=0 não há deslocamento horizontal; se D=0 não há deslocamento vertical.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
f(x)=3\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)
podemos identificar A=3, B=\frac{1}{2}, C=0 e D=0. Agora basta usar as fórmulas acima.
Calcule a amplitude:
\text{amplitude}=|A|=|3|=3.
Calcule o período:
\text{período}=\frac{2\pi}{|B|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=2\pi\cdot 2=4\pi.í
Ou seja, a função completa uma oscilação ao longo do intervalo de comprimento \,4\pi.

Passo 4

Vamos achar pontos-chave que servem para esboçar uma volta (um período) de f. É prático usar os valores do argumento \theta=\frac{x}{2} correspondentes aos pontos do cosseno padrão:
  • \theta=0 \Rightarrow \cos\theta=1 (máximo),
  • \theta=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos\theta=0 (zero),
  • \theta=\pi \Rightarrow \cos\theta=-1 (mínimo),
  • \theta=\frac{3\pi}{2} \Rightarrow \cos\theta=0 (zero),
  • \theta=2\pi \Rightarrow \cos\theta=1 (volta ao máximo).
Agora trocamos \theta=\frac{x}{2} e resolvemos para x:
  • \theta=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=0. Então f(0)=3.
  • \theta=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x=\pi. Então f(\pi)=0.
  • \theta=\pi \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi \Rightarrow x=2\pi. Então f(2\pi)=-3.
  • \theta=\frac{3\pi}{2} \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{2} \Rightarrow x=3\pi. Então f(3\pi)=0.
  • \theta=2\pi \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi \Rightarrow x=4\pi. Então f(4\pi)=3.
Resumo dos pontos-chave de uma volta (de x=0 a x=4\pi):
(0,\,3),\; (\pi,\,0),\; (2\pi,\,-3),\; (3\pi,\,0),\; (4\pi,\,3).
Padrões gerais: máximos ocorrem quando \frac{x}{2}=2\pi k\Rightarrow x=4\pi k; mínimos quando \frac{x}{2}=\pi+2\pi k\Rightarrow x=2\pi+4\pi k; zeros quando \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k\Rightarrow x=\pi+2\pi k, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Como esboçar passo a passo (na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque no eixo y as linhas horizontais y=3 e y=-3 (essas são as cristas e vales).
  2. No eixo x marque os pontos 0,\\ \pi,\\\ 2\pi,\\\ 3\pi,\\\ 4\pi (escolha essa unidade: medir em múltiplos de \pi facilita).
  3. Plote os pontos-chave calculados: (0,3),(\pi,0),(2\pi,-3),(3\pi,0),(4\pi,3).
  4. Ligue os pontos com a forma típica da curva cosseno: começa no máximo em x=0, desce até zero em x=\pi, atinge mínimo em x=2\pi, sobe para zero em x=3\pi e volta ao máximo em x=4\pi. A curva é suave e simétrica em relação aos pontos médios esperados.
  5. Repita o período para a direita e para a esquerda: a cada 4\pi a curva se repete igual.
Observação prática: comparado ao \cos x padrão, aqui a curva está “esticada” horizontalmente: o período original 2\pi virou 4\pi (ou seja, fator de estiramento 2 no eixo x). Verticalmente, a amplitude é 3 (mais alta).

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (ânimo!): sempre calcule amplitude e período primeiro; depois coloque pontos correspondentes a \theta=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi e transforme de volta para x pela relação \theta=Bx+C. Isso funciona para qualquer seno ou cosseno com coeficientes. Você consegue — respira, marca os pontos e liga com calma.

Resposta

Período: \;4\pi.\nEsboço: função cosseno com amplitude 3, sem deslocamentos; pontos-chave numa volta: (0,3),(\pi,0),(2\pi,-3),(3\pi,0),(4\pi,3); o gráfico é a curva cosseno passando por esses pontos e se repete a cada 4\pi.

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