O momento polar de inércia da área é
pol
em relação ao eixo z que passa pelo centróide C . Sendo o momento de inércia em relação ao eixo y’ igual a 5 pol
e em relação ao eixo
igual a
, determine a área
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede a área
:
- O momento polar de inércia da área em relação ao eixo
que passa pelo centróide é - O momento de inércia em relação ao eixo
(não aparece especificado se esse eixo passa por ou não) é - O momento de inércia em relação ao eixo
(também não foi dito se passa por ) é
O que o enunciado pede: determinar a área
.
Passo 2
Primeiro, vou te explicar duas fórmulas fundamentais que usamos nesses problemas (vou explicar cada símbolo para ficar clarinho):
- Teorema dos eixos perpendiculares (válido para eixos coplanares
e que se cruzam no mesmo ponto):
onde
é o momento polar em relação ao eixo perpendicular (aqui o eixo
) que passa pelo mesmo ponto,
é o momento de inércia em relação ao eixo
que passa por esse ponto, e
é o momento de inércia em relação ao eixo
que passa por esse mesmo ponto. Isso diz, em palavras: o momento polar num ponto é a soma dos momentos de inércia em dois eixos ortogonais que se cruzam nesse ponto.
- Teorema dos eixos paralelos (ou Teorema de Steiner), que diz como mudar o momento de inércia quando deslocamos o eixo paralelo a uma distância
:
onde
é o momento de inércia em relação a um eixo que passa por
,
é o momento de inércia em relação ao eixo paralelo que passa pelo centróide
,
é a área da figura e
é a distância entre os eixos (medida perpendicular entre eles). Essa fórmula vale tanto para
quanto para
, desde que se use a distância apropriada.
Passo 3
Agora, vamos tentar usar esses dados. Como o enunciado não diz explicitamente onde passam os eixos
e
(se pelo centróide
ou por outro ponto), temos que considerar o caso mais comum em problemas: os valores
e
são momentos em eixos que se cruzam num mesmo ponto
(ponto diferente ou igual ao centróide). Se ambos os eixos
e
passam por um mesmo ponto
, então pelo teorema dos eixos perpendiculares vale que o momento polar em
é
Com os números dados pegados do enunciado:
e
, logo
Passo 4
Agora relacionamos
com
. Se
não é o centróide, o teorema dos eixos paralelos para o momento polar dá
onde
é a distância entre o ponto
(onde os eixos
e
se cruzam) e o centróide
. Substituindo
e
(dados do enunciado), obtemos
Isso nos dá uma relação entre
e
, mas não um valor único para
: sem conhecer
(a distância do ponto onde
e
foram calculados até o centróide), não dá para obter
isoladamente.
Passo 5
Para reforçar: tentei outras interpretações rápidas para ver se dava para achar
diretamente:
- Se ambos
e fossem momentos em eixos que passam pelo centróide , então deveríamos ter , mas o enunciado diz . Logo essa interpretação é inconsistente com os números dados. - Se apenas um deles passasse por
, ao usar o teorema dos eixos paralelos apareceriam termos que exigiriam conhecer distâncias; novamente falta informação.
Conclusão: com os dados fornecidos não há informação suficiente para determinar um valor único de
. O que falta é a localização relativa dos eixos (por exemplo, a distância
entre o ponto onde
e
foram avaliados e o centróide
).
Resposta
Não é possível determinar a área
com os dados fornecidos. Falta a distância
entre o ponto onde os momentos
e
foram calculados e o centróide
. Se essa distância for conhecida e for
, então