Um ponto de um corpo contínuo está submetido ao tensor [\sigma] indicado. Determine:
[\sigma]=\left[\begin{array}{ccc}200 & -50 & 0 \\\\ -50 & 100 & 0 \\\\ 0 & 0 & 300\end{array}\right] \mathrm{MPa}
a) Direções em que devem ser instalados extensômetros no plano (x, y), para registrar as componentes principais de deformação. ( E=2 \times 10^{5} \mathrm{MPa} ; \nu=0,3 )
b) Os valores destas componentes principais de deformação.

Passo 1

O enunciado fornece o tensor de tensões no ponto
[\sigma]=\begin{pmatrix}200 & -50 & 0 \\[4pt] -50 & 100 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 300\end{pmatrix}\\ \text{MPa}
e pede:
(a) as direções, no plano (x,y), em que instalar extensômetros para registrar as componentes principais de deformação;
(b) os valores dessas componentes principais de deformação.
Dados materiais: E=2\times10^{5}\\ \text{MPa} e \nu=0{,}3.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as componentes de tensão no plano são \sigma_{x}=200\\ \text{MPa}, \sigma_{y}=100\\ \text{MPa} e \tau_{xy}=-50\\ \text{MPa}; a componente fora do plano é \sigma_{z}=300\\ \text{MPa}.]

Passo 2

Por que as direções principais de deformação coincidem com direções principais de tensão (podemos medir as deformações principais alinhando os extensômetros com essas direções)?
Explicação didática: para um material isotrópico linear o tensor de deformação e o tensor de tensão são simultaneamente diagonalizáveis quando consideramos as direções principais (isto é, existe uma base ortogonal onde o tensor de tensão é diagonal e, nessa mesma base, o tensor de deformação também é diagonal). Assim, para pegar as deformações principais no plano (x,y) basta achar as direções principais de tensão naquele plano.
Como achar as direções principais no plano (x,y): usar a fórmula clássica de rotação em 2D. A tensão de cisalhamento no sistema rotacionado x'y' é
\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta.
As direções principais satisfazem \tau_{x'y'}=0, daí
\tan 2\theta = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Aqui \theta é o ângulo entre o eixo x e o eixo x' (no sentido anti-horário usual).
Substituindo os valores do enunciado:
\tan 2\theta = \frac{2(-50)}{200-100}=\frac{-100}{100}=-1.
Logo
2\theta = \arctan(-1) = -45^\circ + k\cdot 180^\circ.
Portanto
\theta = -22{,}5^\circ + k\cdot 90^\circ.
Interpretação prática: existem duas direções distintas no plano (x,y) separadas por 90^\circ. Podemos reportar-as como \theta_1=-22{,}5^\circ (ou 337{,}5^\circ) e \theta_2=67{,}5^\circ. Estas são as direções onde o cisalhamento é nulo; nelas as deformações medidas serão as deformações principais do plano.

Passo 3

Calcular as tensões principais no plano (útil para relacionar com as deformações principais). Para o par 2×2 temos a fórmula:
\sigma_{avg}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\Big(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Big)^2+\tau_{xy}^2},
e as tensões principais no plano são \sigma_{1,2}=\sigma_{avg}\pm R.
Calculando:
\sigma_{avg}=\frac{200+100}{2}=150\\ \text{MPa},
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{200-100}{2}=50\\ \text{MPa},
R=\sqrt{50^2+(-50)^2}=\sqrt{2500+2500}=\sqrt{5000}=70{,}710678\\ \text{MPa}.
Assim
\sigma_{in\\ plane,\,1}=150+70{,}710678=220{,}710678\\ \text{MPa},
\sigma_{in\\ plane,\,2}=150-70{,}710678=79{,}289322\\ \text{MPa}.
A terceira tensão principal é simplesmente a componente z: \sigma_{3}=\sigma_{z}=300\\ \text{MPa}. Observação: a soma das três tensões principais é \,300+220{,}710678+79{,}289322=600\\ \text{MPa}, igual à tr(σ) do tensor dado.

Passo 4

Relacionar tensões principais com deformações principais (Lei de Hooke tridimensional para material isotrópico). Fórmula para a componente de deformação principal \varepsilon_i associada a \sigma_i (i=1,2,3):
\varepsilon_i=\frac{1}{E}\big(\sigma_i-\nu(\sigma_j+\sigma_k)\big),
onde (i,j,k) é uma permutação de (1,2,3). Explicando as variáveis: E é o módulo de Young, \nu é o coeficiente de Poisson, \sigma_i é a i-ésima tensão principal e \varepsilon_i a i-ésima deformação principal (adimensional).
Uma forma prática que às vezes simplifica os cálculos é usar \sigma_{tot}=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3. Então
\varepsilon_i=\frac{1}{E}\big((1+\nu)\sigma_i-\nu\sigma_{tot}\big).
Aqui \sigma_{tot}=600\\ \text{MPa} (ver Passo 3). Agora calculamos cada \varepsilon_i.
Para \sigma_3=\sigma_z=300\\ \text{MPa}:
\varepsilon_3=\frac{1}{200{,}000}\big(300-0{,}3(600-300)\big) =\frac{1}{200{,}000}(300-0{,}3\cdot 300) =\frac{210}{200{,}000}=0{,}00105.
Para a tensão principal in-plane maior \sigma_{220{,}71}=220{,}710678\\ \text{MPa}:
\varepsilon_{220{,}71}=\frac{1}{200{,}000}\big(220{,}710678-0{,}3(600-220{,}710678)\big).
Mais simples usando \sigma_{tot}=600:
\varepsilon_{220{,}71}=\frac{1}{200{,}000}\big(220{,}710678-0{,}3\cdot 379{,}289322\big) =\frac{1}{200{,}000}(220{,}710678-113{,}7867966) =\frac{106{,}9238814}{200{,}000}=0{,}0005346194.
(Ao usar a forma alternativa direta com \sigma_j+\sigma_k obtém-se o mesmo valor; usaremos a forma já simplificada no próximo cálculo para manter a aritmética manual clara.)
Para a tensão principal in-plane menor \sigma_{79{,}289}=79{,}289322\\ \text{MPa}:
\varepsilon_{79{,}289}=\frac{1}{200{,}000}\big(79{,}289322-0{,}3(600-79{,}289322)\big) =\frac{1}{200{,}000}(79{,}289322-0{,}3\cdot 520{,}710678)
=\frac{1}{200{,}000}(79{,}289322-156{,}2132034) =\frac{-76{,}9238814}{200{,}000}=-0{,}0003846194.
(Observação: os valores aqui calculados são consistentes entre si pois a soma das deformações principais deve satisfazer a relação de compatibilidade com as tensões; também é possível obter um resultado alternativo notando que na conta anterior do Passo 4 obtivemos números levemente diferentes — isso decorre da forma de agrupar a subtração. Para clareza e consistência numérica é preferível usar a forma direta e checar aritmética; abaixo na resposta final listo valores com casas decimais coerentes e arredondadas.)

Passo 5

Verificação e correspondência com as direções encontradas: a direção \theta=-22{,}5^\circ (medida a partir do eixo x, sentido anti-horário) corresponde à maior tensão principal no plano \sigma=220{,}710678\\ \text{MPa} e, portanto, à deformação principal in-plane associada a esse valor; a direção \theta=67{,}5^\circ é a direção ortogonal e corresponde à tensão principal in-plane \sigma=79{,}289322\\ \text{MPa} e à sua deformação principal. A deformação associada à tensão \sigma_z=300\\ \text{MPa} atua na direção z (fora do plano) e também pode ser calculada (veja Passo 4).

Resposta

(a) Direções no plano (x,y): \theta_1=-22{,}5^\circ (ou 337{,}5^\circ) e \theta_2=67{,}5^\circ (ângulos medidos a partir do eixo x, sentido anti-horário).
(b) Componentes principais de deformação (adimensionais):
\varepsilon ao longo de \theta_1=-22{,}5^\circ: 0{,}00053462
\varepsilon ao longo de \theta_2=67{,}5^\circ: -0{,}00038462
(deformação principal na direção z): \varepsilon_z=0{,}00105

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