Determine o período, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- determinar o período;
- determinar a imagem (ou seja, o conjunto de valores possíveis de
); - esboçar o gráfico.
Informações dadas/assumidas (tiradas diretamente do enunciado):
-
são constantes (presume-se números reais). - Não foi informado nada sobre valores particulares de
, portanto a resposta será em termos dessas constantes. - É importante observar as duas situações especiais que podem ocorrer:
e/ou . Vou tratá-las explicitamente porque mudam a forma da função (tornam-na constante).
Passo 2
Entender amplitude e deslocamento vertical (aula rápida e concreta).
- Uma função do tipo
tem amplitude igual a . A amplitude mede quanto a função varia para cima e para baixo a partir da linha média. - O termo
desloca o gráfico verticalmente: a linha média passa por . - No nosso caso identificamos
e . Assim a linha média será e a amplitude será .
Exemplo simples para fixar: se
e
, então os extremos são
, ou seja máximo
e mínimo
.
Passo 3
Aplicando ao problema para achar máximos e mínimos (passo para obter a imagem).
- O cosseno varia entre
e : . - Multiplicando por
obtemos se , mas de forma geral o conjunto de valores é . - Subtraindo
(ou somando ) desloca tudo verticalmente pela quantidade .
Portanto, os valores possíveis desão
Isto já dá a imagem (intervalo) no caso não degenerado.
Passo 4
Determinar o período (aula rápida sobre período).
- Para
o período fundamental é quando . Intuição: se repete a cada ; se dentro do cosseno temos , a variável precisa variar de para produzir uma volta completa; tomamos o valor absoluto para garantir período positivo. - No nosso caso
. Logo, se ,
- Se
, então para todo , então é função constante (não tem período fundamental exclusivo): qualquer número positivo é período (a convenção costuma dizer que funções constantes são periódicas com qualquer período).
Passo 5
Juntando amplitude, deslocamento e período para descrever o gráfico (como desenhar na prova).
- Linha média: trace a reta horizontal
. É o eixo central do movimento oscilatório. - Extremos: marque sobre essa linha os pontos de altura máxima
e mínima . Esses são os valores da imagem. - Período: marque no eixo
um intervalo de comprimento (quando ). Entre e a curva completa uma oscilação. Pontos-chave dentro de um período: -
: então . Observe: se este é o máximo; se este é o mínimo (porque multiplicação por número negativo inverte os papéis). Usar evita confusão ao plotar os valores numéricos. -
: é zero, então (linha média). -
: vale , então (o outro extremo).
-
- Desenhe a curva suave tipo cosseno entre esses pontos, repetindo a cada período.
Passo 6
Casos especiais e observações finais (muito importantes para a prova).
- Se
então e para todo . A função é constante; a imagem é ; qualquer é período (ou pode-se dizer que o período é não determinado/indiferente). - Se
então e constante. Imagem . Novamente qualquer é período. - Se ambos
e então (caso incluído acima).
Dica prática para a prova: (i) cheque rápido se
ou
antes de perder tempo com o esboço; (ii) sempre desenhe a linha média
primeiro; (iii) meça o tamanho vertical
acima e abaixo dessa linha para marcar extremos; (iv) marque um período
e os pontos
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (se quiser testar no papel).
Escolha . Então
, linha média
, período
. A imagem é
. Em
temos
(máximo), em
temos
(mínimo), etc. Desenha-se um cosseno com amplitude
e período
.
Escolha
Resposta
Se
e
: Período:
. Imagem:
.
Se
:
(constante). Imagem:
. Qualquer
é período (função constante).
Se
e
:
(constante). Imagem:
. Qualquer
é período (função constante).