Determine o período, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=(F+3) \cos (K x)-G;

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função \,f(x)=(F+3)\cos(Kx)-G:
  • determinar o período;
  • determinar a imagem (ou seja, o conjunto de valores possíveis de f);
  • esboçar o gráfico.
Informações dadas/assumidas (tiradas diretamente do enunciado):
  • \,F,\;G,\;K são constantes (presume-se números reais).
  • Não foi informado nada sobre valores particulares de \,F,\;G,\;K, portanto a resposta será em termos dessas constantes.
  • É importante observar as duas situações especiais que podem ocorrer: \,K=0 e/ou \,F+3=0. Vou tratá-las explicitamente porque mudam a forma da função (tornam-na constante).

Passo 2

Entender amplitude e deslocamento vertical (aula rápida e concreta).
  • Uma função do tipo \,A\cos(Bx)+C tem amplitude igual a \,|A|. A amplitude mede quanto a função varia para cima e para baixo a partir da linha média.
  • O termo +C desloca o gráfico verticalmente: a linha média passa por y=C.
  • No nosso caso identificamos A=F+3 e C=-G. Assim a linha média será y=-G e a amplitude será |F+3|.
Exemplo simples para fixar: se \,A=2 e C=1, então os extremos são 1\pm2, ou seja máximo 3 e mínimo -1.

Passo 3

Aplicando ao problema para achar máximos e mínimos (passo para obter a imagem).
  • O cosseno varia entre -1 e 1: -1\le \cos(Kx)\le 1.
  • Multiplicando por (F+3) obtemos -(F+3)\le (F+3)\cos(Kx)\le (F+3) se F+3\ge 0, mas de forma geral o conjunto de valores é [-|F+3|,\;|F+3|].
  • Subtraindo G (ou somando -G) desloca tudo verticalmente pela quantidade -G.
    Portanto, os valores possíveis de f são
-\,|F+3|-G \le f(x) \le |F+3|-G.
Isto já dá a imagem (intervalo) no caso não degenerado.

Passo 4

Determinar o período (aula rápida sobre período).
  • Para \cos(Bx) o período fundamental é \dfrac{2\pi}{|B|} quando B\neq 0. Intuição: \cos(x) se repete a cada 2\pi; se dentro do cosseno temos Bx, a variável x precisa variar de \dfrac{2\pi}{B} para produzir uma volta completa; tomamos o valor absoluto para garantir período positivo.
  • No nosso caso B=K. Logo, se K\neq 0,
T=\frac{2\pi}{|K|}.
  • Se K=0, então \cos(Kx)=\cos(0)=1 para todo x, então f é função constante (não tem período fundamental exclusivo): qualquer número positivo T é período (a convenção costuma dizer que funções constantes são periódicas com qualquer período).

Passo 5

Juntando amplitude, deslocamento e período para descrever o gráfico (como desenhar na prova).
  • Linha média: trace a reta horizontal y=-G. É o eixo central do movimento oscilatório.
  • Extremos: marque sobre essa linha os pontos de altura máxima y_{\max}=|F+3|-G e mínima y_{\min}=-|F+3|-G. Esses são os valores da imagem.
  • Período: marque no eixo x um intervalo de comprimento \,T=\dfrac{2\pi}{|K|} (quando K\neq 0). Entre x=0 e x=T a curva completa uma oscilação. Pontos-chave dentro de um período:
    • x=0: \cos(0)=1 então f(0)=(F+3)-G. Observe: se F+3>0 este é o máximo; se F+3<0 este é o mínimo (porque multiplicação por número negativo inverte os papéis). Usar |F+3| evita confusão ao plotar os valores numéricos.
    • x=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2|K|}: \cos é zero, então f=-G (linha média).
    • x=\dfrac{T}{2}: \cos vale -1, então f=(F+3)(-1)-G=- (F+3)-G (o outro extremo).
  • Desenhe a curva suave tipo cosseno entre esses pontos, repetindo a cada período.

Passo 6

Casos especiais e observações finais (muito importantes para a prova).
  1. Se \,F+3=0 então A=0 e \,f(x)=-G para todo x. A função é constante; a imagem é \{\,-G\,\}; qualquer T>0 é período (ou pode-se dizer que o período é não determinado/indiferente).
  2. Se \,K=0 então \cos(Kx)=1 e \,f(x)=F+3-G constante. Imagem \{\;F+3-G\;\}. Novamente qualquer T>0 é período.
  3. Se ambos \,K=0 e \,F+3=0 então f(x)=-G (caso incluído acima).
Dica prática para a prova: (i) cheque rápido se K=0 ou F+3=0 antes de perder tempo com o esboço; (ii) sempre desenhe a linha média y=-G primeiro; (iii) meça o tamanho vertical |F+3| acima e abaixo dessa linha para marcar extremos; (iv) marque um período T=\dfrac{2\pi}{|K|} e os pontos 0,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (se quiser testar no papel).
Escolha \,F=1,\;K=2,\;G=0. Então \,A=F+3=4, linha média y=0, período T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi. A imagem é [-4,4]. Em x=0 temos f(0)=4 (máximo), em x=\pi/2 temos f=-4 (mínimo), etc. Desenha-se um cosseno com amplitude 4 e período \pi.

Resposta

Se K\neq 0 e F+3\neq 0: Período: T=\dfrac{2\pi}{|K|}. Imagem: \left[-\,|F+3|-G,\;|F+3|-G\right].
Se F+3=0: f(x)=-G (constante). Imagem: \{\,-G\,\}. Qualquer T>0 é período (função constante).
Se K=0 e F+3\neq 0: f(x)=F+3-G (constante). Imagem: \{\,F+3-G\,\}. Qualquer T>0 é período (função constante).

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