Determine o período, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
g(x)=(B-6) \operatorname{sen}\left(\frac{x}{C+1}\right)+H.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=(B-6)\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{C+1}\right)+H
e pede três coisas: o período, a imagem (intervalo de valores que g assume) e um esboço do gráfico.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • B, C e H são constantes (não foram numéricas).
  • A expressão contém \frac{x}{C+1}, portanto há uma atenção especial se C+1=0 (divisão por zero).
  • A função é do tipo amplitude \times seno + deslocamento vertical, então podemos usar as fórmulas padrão de funções senoidais.
O enunciado pede respostas em termos de B, C e H, então vamos deduzir o período e a imagem simbolicamente e descrever como esboçar o gráfico.

Passo 2

Aula rápida sobre funções do tipo a\sin(bx+c)+d (fórmulas que vou usar).
  • Amplitude: a amplitude é |a|. Isso diz quanto a função varia acima e abaixo do deslocamento vertical.
    • Aqui a=B-6, então amplitude A=|B-6|.
  • Período: para \sin(bx) o período é \dfrac{2\pi}{|b|}. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento \dfrac{2\pi}{|b|} no eixo x.
    • No nosso caso a variável dentro do seno é \dfrac{x}{C+1}. Posso escrever isso como \sin\big(kx\big) com k=\dfrac{1}{C+1} (desde que C+1\neq0).
    • Assim o período será \dfrac{2\pi}{|k|}.
  • Deslocamento vertical: o termo +d desloca o gráfico de \sin verticalmente em d unidades.
    • Aqui d=H, então o eixo médio (linha central) do seno fica em y=H.
Explicando cada variável:
  • a (aqui B-6) controla altura das cristas/vales.
  • b (aqui 1/(C+1)) controla frequência horizontal (quanto comprimido/esticado o seno está).
  • d (aqui H) é o deslocamento vertical.

Passo 3

Calcular o período para o nosso caso (assumindo a função bem definida, isto é, C+1\neq0).
Temos k=\dfrac{1}{C+1}. Logo o período T é
T=\frac{2\pi}{|k|}=\frac{2\pi}{\left|\dfrac{1}{C+1}\right|}=2\pi\,|C+1|.
Observações de borda sobre o período:
  • Se C+1>0, então T=2\pi(C+1).
  • Se C+1<0, a fórmula acima já dá T=2\pi|C+1|. O sinal negativo de C+1 apenas inverte a orientação horizontal da variável interna, mas o período é o comprimento positivo 2\pi|C+1|.
  • Se C=-1 (ou seja C+1=0), a função não está definida (divisão por zero) e portanto não há como falar em período.

Passo 4

Calcular a imagem (intervalo de valores possíveis) usando amplitude e deslocamento vertical.
Para a função a\sin(\cdot)+d, como \sin(\cdot) varia entre -1 e 1, a imagem é
[d-|a|,\; d+|a|].
Aplicando ao nosso caso com a=B-6 e d=H, a imagem é
\big[\,H-|B-6|,\; H+|B-6|\,\big].
Casos especiais:
  • Se B=6 então a=0 e a amplitude é zero; a função reduz-se a g(x)=H, constante. A imagem é o conjunto \{H\}. Quanto ao período: uma função constante é periodicamente repetida para qualquer T>0 (ou se preferir, não há período único bem definido), então costuma-se dizer que todo T>0 é um período ou que o período é indefinido/unconstrained.
  • Se C=-1 a função é inválida por divisão por zero; então não há imagem nem período bem definidos.

Passo 5

Como localizar os pontos importantes para esboçar o gráfico (receita prática, passo a passo):
  1. Verifique se C\neq-1. Se C=-1 não dá para esboçar porque a função não existe.
  2. Determine a amplitude A=|B-6| e o deslocamento vertical H.
  3. Determine o período T=2\pi|C+1|.
  4. Marque a linha média horizontal y=H.
  5. Os zeros (pontos em que g(x)=H) ocorrem quando o argumento do seno é múltiplo de \pi: \frac{x}{C+1}=n\pi \quad\Rightarrow\quad x=n\pi(C+1),\qquad n\in\mathbb{Z}.
  6. Os máximos e mínimos (valores extremos) ocorrem quando o seno toma \pm1:
    • se \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{C+1}\right)=1, então x=(C+1)\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),e o valor de g nesse x é H+(B-6).
    • se \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{C+1}\right)=-1, então x=(C+1)\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),e o valor de g nesse x é H-(B-6).
      Observação prática: como o máximo numérico é H+|B-6| e o mínimo é H-|B-6|, se B-6<0 os pontos em que a fórmula dá H+(B-6) serão, na verdade, vales; o desenho fica “invertido” verticalmente quando B-6<0. Mas isso não muda a imagem.
  7. Para um esboço: comece desenhando uma curva senoidal padrão sobre a linha média y=H, com pico a H+|B-6| e vale a H-|B-6|, com um ciclo ocupando comprimento T no eixo x. Repita ciclos à esquerda e à direita.

Passo 6

Exemplo rápido ilustrativo (apenas para intuição — não altera as fórmulas gerais):
  • Se B=8, C=1 e H=0 então a=B-6=2, amplitude 2, T=2\pi|1+1|=4\pi. A função é 2\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) e varia entre -2 e 2 com período 4\pi.
  • Se B=4, C=1 e H=1 então a=-2 (reflexão vertical), amplitude |-2|=2, T=4\pi, imagem [ -1,\; 3] porque H\pm|a| = 1\pm2.

Resposta

T=2\pi\,|C+1| (para C\neq-1; se C=-1 a função não está definida)\n
\operatorname{Im}(g)=\big[\,H-|B-6|,\;H+|B-6|\,\big] (se B=6, então \operatorname{Im}(g)=\{H\} e a função é constante)

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