Explique, com suas palavras, os significados e consequências de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão
O que se pede aqui: explicar o significado dessa igualdade em palavras, escrever sua forma matemática precisa (definição), listar consequências lógicas dessa condição e dar exemplos de funções que a satisfaçam. As informações relevantes que já estão na expressão:
- Aparece o ponto
no qual comparamos um limite lateral à esquerda com o valor da função. - A expressão implica que
existe (a função está definida em ). - O símbolo
em indica que o limite é tomado por valores de que se aproximam de vindos da esquerda (ou seja, ).
Passo 2
Significado em palavras (intuitivo, sem formalidade):
A igualdade diz que, quando se aproxima de
por valores menores do que
(por exemplo
,
, etc.), os valores
ficam cada vez mais próximos do número
. Em outras palavras: olhando apenas para o lado esquerdo de
, a função tem limite e esse limite coincide com o valor da função no ponto.
A igualdade diz que, quando
Passo 3
Significado matemático preciso (definição ε–δ da igualdade do limite lateral):
A expressão é equivalente a:
A expressão é equivalente a:
Explicando cada parte:
-
é a precisão desejada para a diferença entre e . -
diz quão próximo de (no eixo ) devemos ficar. - A condição
garante que estamos pegando somente pontos à esquerda de (a aproximação é unidirecional). - A desigualdade
expressa que está dentro da margem em torno de .
Passo 4
Caracterização sequencial equivalente:
A igualdade também é equivalente a:
“Para toda sequência com
para todo
e
, vale
.”
Isto é útil na prática: basta testar que qualquer sequência que venha da esquerda convergindo para tem imagem convergente para
.
A igualdade também é equivalente a:
“Para toda sequência
Isto é útil na prática: basta testar que qualquer sequência que venha da esquerda convergindo para
Passo 5
Consequências e observações importantes
- A igualdade implica que
está bem definida (não é possível comparar com se esse valor não existir). - A condição garante continuidade “pela esquerda” em
. Nome técnico: é contínua à esquerda em . - Isso não garante continuidade total em
. Para ter continuidade no sentido usual (não apenas pela esquerda) é preciso também que
Se o limite à direita for diferente de
(ou não existir), a função terá uma descontinuidade pela direita (por exemplo, salto à direita).
- Se o ponto
for limite do domínio apenas pela direita (isto é, não existem pontos no domínio arbitrariamente próximos de ), então a condição da esquerda não está bem colocada: para a igualdade valer é necessário haver pontos à esquerda arbitrariamente próximos de . Em outras palavras, precisa ser um ponto de acumulação por valores menores de no domínio de .
Passo 6
Como verificar isso numa prova (dica prática)
- Se
for dada por uma fórmula simples e contínua num intervalo que contém , basta calcular (ou ) por substituição e comparar com . - Se
for definida por partes, calcular o limite pela esquerda usando a regra apropriada da parte que vale para e comparar com o valor definido em . - Uma verificação rápida via sequências: pegue uma sequência
e calcule . Se o limite for e a razão for geral, isso é forte evidência (sequencialmente equivalente).
Passo 7
Exemplos concretos
- Exemplo de uma função que é contínua (portanto satisfaz a condição) em
Verificação:
e
. Logo a igualdade vale.
- Exemplo de função que é só contínua pela esquerda em
(cumpre a igualdade) mas é descontínua pela direita (um salto à direita):
Verificação: para
são
, então
. Como
, a igualdade vale. Porém
, então não há continuidade à direita.]
Passo 8
Resumo intuitivo e encorajamento
Resumindo: a igualdade diz que, olhando só para a esquerda de , os valores da função se aproximam do valor que a função tem no ponto
. Isso é exatamente a continuidade à esquerda. Em prova: escreva a definição ε–δ ou use sequência, calcule limites unilaterais e compare com
. Você consegue — respira fundo, faz passo a passo e checa um exemplo para ganhar confiança!
Resumindo: a igualdade diz que, olhando só para a esquerda de
Resposta
A expressão significa que
Exemplos:
(continuidade total) e (f(x)=
] (continuidade só pela esquerda).]