Explique, com suas palavras, os significados e consequências de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow-G^{-}} f(x)=f(-G)

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\lim_{x\to -G^-} f(x) = f(-G).
O que se pede aqui: explicar o significado dessa igualdade em palavras, escrever sua forma matemática precisa (definição), listar consequências lógicas dessa condição e dar exemplos de funções que a satisfaçam. As informações relevantes que já estão na expressão:
  • Aparece o ponto -G no qual comparamos um limite lateral à esquerda com o valor da função.
  • A expressão implica que f(-G) existe (a função está definida em -G).
  • O símbolo - em -G^- indica que o limite é tomado por valores de x que se aproximam de -G vindos da esquerda (ou seja, x<-G).

Passo 2

Significado em palavras (intuitivo, sem formalidade):
A igualdade diz que, quando x se aproxima de -G por valores menores do que -G (por exemplo -G-0{,}1, -G-0{,}01, etc.), os valores f(x) ficam cada vez mais próximos do número f(-G). Em outras palavras: olhando apenas para o lado esquerdo de -G, a função tem limite e esse limite coincide com o valor da função no ponto.

Passo 3

Significado matemático preciso (definição ε–δ da igualdade do limite lateral):
A expressão é equivalente a:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\quad -G-\delta < x < -G \\ \Rightarrow\\ |f(x)-f(-G)|<\varepsilon.
Explicando cada parte:
  • \varepsilon>0 é a precisão desejada para a diferença entre f(x) e f(-G).
  • \delta>0 diz quão próximo de -G (no eixo x) devemos ficar.
  • A condição -G-\delta<x<-G garante que estamos pegando somente pontos à esquerda de -G (a aproximação é unidirecional).
  • A desigualdade |f(x)-f(-G)|<\varepsilon expressa que f(x) está dentro da margem \varepsilon em torno de f(-G).

Passo 4

Caracterização sequencial equivalente:
A igualdade também é equivalente a:
“Para toda sequência (x_n) com x_n< -G para todo n e x_n\to -G, vale f(x_n)\to f(-G).”
Isto é útil na prática: basta testar que qualquer sequência que venha da esquerda convergindo para -G tem imagem convergente para f(-G).

Passo 5

Consequências e observações importantes
  • A igualdade implica que f(-G) está bem definida (não é possível comparar com f(-G) se esse valor não existir).
  • A condição garante continuidade “pela esquerda” em -G. Nome técnico: f é contínua à esquerda em -G.
  • Isso não garante continuidade total em -G. Para ter continuidade no sentido usual (não apenas pela esquerda) é preciso também que
\lim_{x\to -G^+} f(x) = f(-G).
Se o limite à direita for diferente de f(-G) (ou não existir), a função terá uma descontinuidade pela direita (por exemplo, salto à direita).
  • Se o ponto -G for limite do domínio apenas pela direita (isto é, não existem pontos x<-G no domínio arbitrariamente próximos de -G), então a condição da esquerda não está bem colocada: para a igualdade valer é necessário haver pontos à esquerda arbitrariamente próximos de -G. Em outras palavras, -G precisa ser um ponto de acumulação por valores menores de -G no domínio de f.

Passo 6

Como verificar isso numa prova (dica prática)
  • Se f for dada por uma fórmula simples e contínua num intervalo que contém -G, basta calcular \lim_{x\to -G} f(x) (ou \lim_{x\to -G^-} f(x)) por substituição e comparar com f(-G).
  • Se f for definida por partes, calcular o limite pela esquerda usando a regra apropriada da parte que vale para x< -G e comparar com o valor definido em -G.
  • Uma verificação rápida via sequências: pegue uma sequência x_n=-G-\tfrac{1}{n} e calcule \lim_{n\to\infty} f(x_n). Se o limite for f(-G) e a razão for geral, isso é forte evidência (sequencialmente equivalente).

Passo 7

Exemplos concretos
  1. Exemplo de uma função que é contínua (portanto satisfaz a condição) em -G\): \[f(x)=x^{2}.
Verificação: \displaystyle \lim_{x\to -G^-} x^{2} = (-G)^{2} e f(-G)=(-G)^{2}. Logo a igualdade vale.
  1. Exemplo de função que é só contínua pela esquerda em -G (cumpre a igualdade) mas é descontínua pela direita (um salto à direita):
f(x)=\begin{cases} 0, & x\le -G,\\[4pt] 1, & x>-G. \end{cases}
Verificação: para x<-G\] todos os valores de \(f(x) são 0, então \displaystyle \lim_{x\to -G^-} f(x)=0. Como f(-G)=0, a igualdade vale. Porém \displaystyle \lim_{x\to -G^+} f(x)=1\neq f(-G), então não há continuidade à direita.]

Passo 8

Resumo intuitivo e encorajamento
Resumindo: a igualdade diz que, olhando só para a esquerda de -G, os valores da função se aproximam do valor que a função tem no ponto -G. Isso é exatamente a continuidade à esquerda. Em prova: escreva a definição ε–δ ou use sequência, calcule limites unilaterais e compare com f(-G). Você consegue — respira fundo, faz passo a passo e checa um exemplo para ganhar confiança!

Resposta

A expressão significa que \displaystyle \lim_{x\to -G^-} f(x)=f(-G)\); isto é, \(f\) é contínua pela esquerda em \(-G\). Formalmente, \[\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ -G-\delta<x<-G\Rightarrow |f(x)-f(-G)|<\varepsilon.
Exemplos: f(x)=x^{2} (continuidade total) e (f(x)= \begin{cases}0,&x\le -G\\[4pt]1,&x>-G\end{cases}] (continuidade só pela esquerda).]

Exercícios relacionados