Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\operatorname{sen} 2 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\operatorname{sen}(2x),
e pede (a) o período, (b) a imagem e (c) o gráfico de um período completo. Vamos usar as propriedades básicas da função seno comprimida por um fator.

Passo 2

Para a função genérica \operatorname{sen}(b x), o período é
T = \frac{2\pi}{b}.
Aqui b=2, logo
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.

Passo 3

A amplitude da função seno é 1, portanto a imagem de f é o intervalo
[-1,1].

Passo 4

Para desenhar um período completo em [0,\pi], calculamos pontos-chave: \,f(0)=\operatorname{sen}(0)=0, \,f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, \,f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\operatorname{sen}(\pi)=0, \,f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1, \,f(\pi)=\operatorname{sen}(2\pi)=0.
Ligando esses pontos por uma curva senoidal, obtemos o gráfico completo de um período.

Resposta

Período: \pi
Imagem: [-1,1]
Gráfico em [0,\pi]: passa por
(0,0),\;\bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr),\;\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr),\;\bigl(\tfrac{3\pi}{4},-1\bigr),\;(\pi,0),
com formato de seno comprimido.

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