Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=-\cos x.

Passo 1

O enunciado pede o período, a imagem e o gráfico de um período completo da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=-\cos x.
O conteúdo usado é a teoria de funções trigonométricas elementares: conhecemos o período e amplitude da função cosseno e sabemos como inverter o seu sinal.

Passo 2

Para achar o período de f, lembramos que a função \cos x tem período 2\pi. Inverter o sinal, isto é, fazer -\cos x, não altera o comprimento do período. Logo, o período de f é
T = 2\pi.

Passo 3

A imagem de \cos x é o intervalo [-1,1]. Como f(x)=-\cos x, multiplicar por -1 apenas reflete o gráfico em relação ao eixo x, mas não altera o intervalo de valores. Portanto, a imagem de f é
\mathrm{Im}(f) = [-1,\,1].

Passo 4

Para esboçar um período completo, tomamos o intervalo
0 \le x \le 2\pi
e calculamos alguns valores notáveis:
f(0) = -\cos(0) = -1,\quad f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0,
f(\pi) = -\cos(\pi) = 1,\quad f\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = 0, \quad f(2\pi) = -\cos(2\pi) = -1.
Ligando esses pontos por uma curva suave de formato senoidal (invertido em relação a \cos x), obtemos o gráfico de um período completo de f.

Resposta

Período: 2\pi
Imagem: [-1,\,1]
Gráfico em [0,2\pi]: passa por (0,-1), \bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr), (\pi,1), \bigl(\tfrac{3\pi}{2},0\bigr), (2\pi,-1)
e liga esses pontos por uma curva senoidal invertida.

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