Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\cos 2 x.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\cos(2x),
e pede (a) o período dessa função, (b) a imagem (conjunto-alvo de valores) e (c) o gráfico de um período completo. Vamos usar o fato de que, para uma função do tipo \cos(kx), o período vale \tfrac{2\pi}{|k|}, e que a imagem de \cos é [-1,1].

Passo 2

Para achar o período T usamos a fórmula
T = \frac{2\pi}{|k|},
onde k é o coeficiente de x. Aqui k=2, logo
T = \frac{2\pi}{2} = \pi.

Passo 3

A imagem de \cos é sempre
[-1,1].
Como \cos(2x) repete o mesmo padrão de \cos, temos
\text{Imagem}(f) = [-1,1].

Passo 4

Para esboçar o gráfico de um período completo, desenhamos f(x)=\cos(2x) em um intervalo de comprimento \pi. Escolhemos de x=0 a x=\pi. Os pontos-chave são:
\begin{aligned} x=0 &: f(0)=\cos(0)=1,\\\ x=\tfrac{\pi}{4} &: f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\\\ x=\tfrac{\pi}{2} &: f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(\pi)=-1,\\\ x=\tfrac{3\pi}{4} &: f\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,\\\ x=\pi &: f(\pi)=\cos(2\pi)=1. \end{aligned}
Entre esses pontos, a curva segue a forma de uma “onda” suave de cosseno.

Passo 5

Esboço do gráfico de f(x)=\cos(2x) para 0\le x\le \pi:
Eixo x horizontal de 0 a \pi, eixo y vertical de -1 a 1.
Marque e conecte suavemente os pontos
(0,1),\; \bigl(\tfrac{\pi}{4},0\bigr),\;\bigl(\tfrac{\pi}{2},-1\bigr),\;\bigl(\tfrac{3\pi}{4},0\bigr),\;(\pi,1).
Isso completa um período de \cos(2x).

Resposta

Período: \pi
Imagem: [-1,1]

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