Um corpo de massa M=2 \mathrm{~kg} está preso a um eixo horizontal. A distância entre o ponto de suspensão por onde passa este eixo e o centro de massa do corpo é dada por d=1 \mathrm{~m}. O corpo executa pequenas oscilaçōes em torno da posição de equilíbrio com um período igual a 1,2 \mathrm{~s}. Calcule o momento de inércia do corpo em relação a este eixo.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico: um corpo de massa M=2\\ \mathrm{kg} preso a um eixo horizontal a uma distância d=1\\ \mathrm{m} do seu centro de massa, que oscila com período T=1,2\\ \mathrm{s}. Queremos o momento de inércia I desse corpo em relação ao eixo.

Passo 2

Na oscilação pequena de um pêndulo físico, o torque de restauração é -M g d\,\theta e a equação do movimento é
I\,\frac{d^2\theta}{dt^2} + M g d\,\theta = 0.
Dessa forma, a frequência angular é \omega = \sqrt{\frac{M g d}{I}} e o período vale
T = 2\pi\,\sqrt{\frac{I}{M g d}}.

Passo 3

Isolando I na fórmula do período,
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{M g d}} \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{T^2\,M g d}{4\pi^2}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2},
T^2 = (1,2)^2 = 1,44,\quad 4\pi^2 \approx 39,48,
I = \frac{1,44 \times 2 \times 9,8 \times 1}{39,48} = \frac{28,224}{39,48} \approx 0,715\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Resposta

O momento de inércia é aproximadamente
I \approx 0,72\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

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