Determine o período, a paridade, a imagem, o domínio e o gráfico da restrição à um período completo das funções a seguir:
f(x)=2+csc x

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=2+csc x,
que a gente determine o período, a paridade, o domínio, a imagem e esboce o gráfico restrito a um período completo. O conteúdo é funções periódicas (a cosseno secante), conceito de paridade (funções pares e ímpares), noção de domínio e de imagem, e esboço de gráfico com assíntotas.

Passo 2

A função csc x tem período 2pi, ou seja
csc(x+2pi)=csc xforall xnotinpiBbb Z
Como estamos apenas somando a constante 2, isso não altera o período. Logo
período de f = 2pií

Passo 3

Para verificar paridade, calculamos
f(-x)=2+csc(-x)=2-csc xneq f(x)e f(-x)neq -f(x)
Portanto f não é par nem ímpar.

Passo 4

O domínio de é todos os tais que , ou seja

Passo 5

Sabendo que
temos
Assim

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico de f em um período completo, digamos no intervalo (0,2pi).
Em x=0 e x=pi e x=2pi há assíntotas verticais (pois sin x=0 aí).
No intervalo (0,pi), sin x>0 então csc x>0 e f(x)to+infty quando xto0^+ ou xtopi^-. O ponto de mínimo ocorre em x=pi/2, pois sin(pi/2)=1, daí
fl(tfracpi2r)=2+1=3
No intervalo (pi,2pi), sin x<0 então csc x<0 e f(x)to-infty quando xtopi^+ ou xto2pi^-. O ponto de “máximo” nessa parte ocorre em x=3pi/2, pois sin(3pi/2)=-1, daí
fl(tfrac3pi2r)=2-1=1
Em resumo, o esboço em (0,2pi) terá:
– assíntotas verticais em x=0,pi,2pi;
– um ramo positivo que vai de +infty em xto0^+ até o mínimo 3 em x=pi/2 e volta a +infty em xtopi^-;
– um ramo negativo que vai de -infty em xtopi^+ até o “máximo” 1 em x=3pi/2 e volta a -infty em xto2pi^-.

Resposta

Período: 2pi.
Paridade: nenhuma (nem par nem ímpar).
Domínio: xinBbb Rmid xneq kpi, kinBbb Z.
Imagem: (-infty,1]cup[3,infty).
Gráfico em um período (0,2pi): temos assíntotas em x=0,pi,2pi, ramo em (0,pi) com mínimo f(pi/2)=3 e ramo em (pi,2pi) com “máximo” f(3pi/2)=1.

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