Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superficie: x=u^{2}, y=v^{2}, z=2 u+v no ponto ( \left.4,1,5\right).
Passo 1
O enunciado pede: determinar o plano tangente à superfície dada por \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_0=(4,1,5).
Informações dadas: \mathbf{r}(u,v) tem coordenadas
x = u^{2},\qquad y = v^{2},\qquad z = 2u+v.
O que precisamos encontrar: a equação do plano tangente que toca a superfície no ponto \boldsymbol{P}_0=(4,1,5).
Passo 2
Primeiro precisamos achar os parâmetros (u_0,v_0) que geram o ponto \boldsymbol{P}_0. Isso significa resolver o sistema
u^{2}=4,\qquad v^{2}=1,\qquad 2u+v=5.
Resolvo u^{2}=4 obtendo u=\pm 2. Resolvo v^{2}=1 obtendo v=\pm 1. Agora verifico qual par (u,v) satisfaz também 2u+v=5.
Portanto o parâmetro correspondente é (u_0,v_0)=(2,1).
Passo 4
Conceito usado: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v (derivadas parciais) são vetores tangentes à superfície; a normal ao plano tangente é dado por \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Vou calcular \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v.
A função vetorial é
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(u^{2},\,v^{2},\,2u+v\bigr).
Derivo componente a componente em relação a u e a v: