Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superficie: x=u^{2}, y=v^{2}, z=2 u+v no ponto ( \left.4,1,5\right).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o plano tangente à superfície dada por \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_0=(4,1,5).
Informações dadas:
\mathbf{r}(u,v) tem coordenadas
x = u^{2},\qquad y = v^{2},\qquad z = 2u+v.
O que precisamos encontrar: a equação do plano tangente que toca a superfície no ponto \boldsymbol{P}_0=(4,1,5).

Passo 2

Primeiro precisamos achar os parâmetros (u_0,v_0) que geram o ponto \boldsymbol{P}_0. Isso significa resolver o sistema
u^{2}=4,\qquad v^{2}=1,\qquad 2u+v=5.
Resolvo u^{2}=4 obtendo u=\pm 2. Resolvo v^{2}=1 obtendo v=\pm 1. Agora verifico qual par (u,v) satisfaz também 2u+v=5.

Passo 3

Testo os quatro pares possíveis:
\begin{aligned} (u,v)=(2,1):&\quad 2u+v=2\cdot 2+1=5 \quad\text{(satisfaz)};\\\ (u,v)=(-2,1):&\quad 2u+v=2\cdot(-2)+1=-3 \quad\text{(não satisfaz)};\\\ (u,v)=(2,-1):&\quad 2u+v=4-1=3 \quad\text{(não satisfaz)};\\\ (u,v)=(-2,-1):&\quad 2u+v=-4-1=-5 \quad\text{(não satisfaz)}. \end{aligned}ããã
Portanto o parâmetro correspondente é (u_0,v_0)=(2,1).

Passo 4

Conceito usado: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v (derivadas parciais) são vetores tangentes à superfície; a normal ao plano tangente é dado por \mathbf{n}=\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Vou calcular \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v.
A função vetorial é
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(u^{2},\,v^{2},\,2u+v\bigr).
Derivo componente a componente em relação a u e a v:
\mathbf{r}_u(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial u}u^{2},\,\frac{\partial}{\partial u}v^{2},\,\frac{\partial}{\partial u}(2u+v)\right) =\bigl(2u,\,0,\,2\bigr),
\mathbf{r}_v(u,v)=\left(\frac{\partial}{\partial v}u^{2},\,\frac{\partial}{\partial v}v^{2},\,\frac{\partial}{\partial v}(2u+v)\right) =\bigl(0,\,2v,\,1\bigr).
Explicando: \mathbf{r}_u é o vetor que mostra como \mathbf{r} muda quando só u varia (mantendo v fixo); \mathbf{r}_v é análogo para variações em v.

Passo 5

Avalio as derivadas parciais no ponto de parâmetro (u_0,v_0)=(2,1):
\mathbf{r}_u(2,1)=\bigl(2\cdot 2,\,0,\,2\bigr)=(4,0,2),
\mathbf{r}_v(2,1)=\bigl(0,\,2\cdot 1,\,1\bigr)=(0,2,1).

Passo 6

Agora calculo a normal como o produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u(2,1)\times\mathbf{r}_v(2,1).
Uso a fórmula do determinante (produto vetorial):
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}.
Computei componente a componente:
\begin{aligned} n_x &= 0\cdot 1 - 2\cdot 2 = -4,\\\ n_y &= -(4\cdot 1 - 2\cdot 0) = -4,\\\ n_z &= 4\cdot 2 - 0\cdot 0 = 8. \end{aligned}
Logo
\mathbf{n}=(-4,\,-4,\,8).
Observação: qualquer múltiplo não nulo de \mathbf{n} também é normal (por exemplo (1,1,-2) é paralelo a \mathbf{n} com sinal trocado).

Passo 7

Equação do plano com normal \mathbf{n}=(A,B,C) que passa por \boldsymbol{P}_0=(x_0,y_0,z_0) é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui A=-4, B=-4, C=8 e (x_0,y_0,z_0)=(4,1,5). Substituo:
-4(x-4)-4(y-1)+8(z-5)=0.
Dividindo ambos os lados por -4 (para simplificar) obtemos
(x-4)+(y-1)-2(z-5)=0.

Passo 8

Agora expando e simplifico a equação:
x-4+y-1-2z+10=0.
Somando constantes -4-1+10=5, resulta
x+y-2z+5=0.
Faço uma checagem rápida substituindo \boldsymbol{P}_0=(4,1,5):
4+1-2\cdot 5+5=5-10+5=0,
portanto o ponto pertence ao plano, como deve ser.

Resposta

x+y-2z+5=0

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