Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superficie: r(u, v)=\left\langle u \cos (v), u \sin (v), u^{2}\right\rangle sendo um cone no ponto (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o plano tangente à superfície \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_0=(0,0,0). Informações dadas:
\mathbf{r}(u,v)=\left\langle u\cos(v),\;u\sin(v),\;u^{2}\right\rangle.
Observação importante do enunciado: esse parâmetro descreve um cone cujo vértice é o ponto (0,0,0). Não há outros dados (por exemplo, um par específico (u_0,v_0)) — note que \mathbf{r}(0,v)= (0,0,0) para todo v.

Passo 2

Lembrete didático sobre plano tangente em superfície paramétrica: se \mathbf{r}(u,v) é suave e \mathbf{r}_u(u_0,v_0) e \mathbf{r}_v(u_0,v_0) são vetores linearmente independentes, então o plano tangente em \mathbf{r}(u_0,v_0) é o plano gerado por esses vetores. A normal ao plano é o produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{r}_u(u_0,v_0)\times\mathbf{r}_v(u_0,v_0),
e a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot\big(\mathbf{X}-\mathbf{r}(u_0,v_0)\big)=0,
onde \mathbf{X}=(x,y,z). Se \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v não forem independentes (ou um for o vetor zero), não existe um plano tangente bem definido via esse procedimento.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_u(u,v)=\left\langle \cos v,\;\sin v,\;2u\right\rangle,
\mathbf{r}_v(u,v)=\left\langle -u\sin v,\;u\cos v,\;0\right\rangle.
Expliquei: \mathbf{r}_u é a derivada de \mathbf{r} em relação a u mantendo v fixo, componente a componente; mesma ideia para \mathbf{r}_v.

Passo 4

Avalie as derivadas no ponto parâtrico que dá \boldsymbol{P}_0. Como \mathbf{r}(0,v)=(0,0,0) para qualquer v, tomamos u=0 (e um v qualquer):
\mathbf{r}_u(0,v)=\left\langle \cos v,\;\sin v,\;0\right\rangle,
\mathbf{r}_v(0,v)=\left\langle 0,\;0,\;0\right\rangle.
Portanto \mathbf{r}_v(0,v) é o vetor zero e \mathbf{r}_u(0,v) é um vetor horizontal no plano xy que depende de v.

Passo 5

Verifiquemos o produto vetorial (normal) em ponto geral e depois em u=0. Calculemos
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos v & \sin v & 2u \\\\ - u\sin v & u\cos v & 0 \end{vmatrix} =\left\langle -2u^{2}\cos v,\;-2u^{2}\sin v,\;u\right\rangle.
Ao colocar u=0 obtemos
\mathbf{r}_u(0,v)\times\mathbf{r}_v(0,v)=\langle0,0,0\rangle.
Ou seja, a normal degenerou (vetor zero), o que confirma que \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v não geram um plano de dimensão 2 naquele ponto.

Passo 6

Interpretação geométrica e conclusão didática: no vértice do cone (origem) a parametrização é singular — a matriz jacobiana tem posto 1, não 2. Isso significa que a definição padrão de plano tangente (usando \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v) falha: não há dois vetores tangentes linearmente independentes na origem, logo não existe um plano tangente único. De fato, para cada direção angular v_0 existe uma curva generatriz u\mapsto\mathbf{r}(u,v_0) cuja tangente em u=0 é
\left.\frac{d}{du}\mathbf{r}(u,v_0)\right|_{u=0}=\langle\cos v_0,\sin v_0,0\rangle,
ou seja, uma reta tangente horizontal em cada direção do círculo; como essas retas variam com v_0, não há um único plano que sirva de tangente ao vértice. Pode-se falar em cone tangente (conjunto de todas essas retas) ou em retas tangentes dependentes de v_0, mas não em um plano tangente bem definido.

Resposta

Não existe plano tangente bem definido em (0,0,0) — o ponto é um vértice singular do cone (as derivadas parciais não geram um plano; \mathbf{r}_v(0,v)=\mathbf{0} e \mathbf{r}_u(0,v) depende de v).

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