Determine o plano tangente a superfície \mathbf{r}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) no ponto \boldsymbol{P}_{\mathbf{0}}.
Superficie: r(u, v)=\left\langle u \cos (v), u \sin (v), u^{2}\right\rangle sendo um cone no ponto (0,0,0).
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o plano tangente à superfície \mathbf{r}(u,v) no ponto \boldsymbol{P}_0=(0,0,0). Informações dadas:
Observação importante do enunciado: esse parâmetro descreve um cone cujo vértice é o ponto (0,0,0). Não há outros dados (por exemplo, um par específico (u_0,v_0)) — note que \mathbf{r}(0,v)= (0,0,0) para todo v.
Passo 2
Lembrete didático sobre plano tangente em superfície paramétrica: se \mathbf{r}(u,v) é suave e \mathbf{r}_u(u_0,v_0) e \mathbf{r}_v(u_0,v_0) são vetores linearmente independentes, então o plano tangente em \mathbf{r}(u_0,v_0) é o plano gerado por esses vetores. A normal ao plano é o produto vetorial
onde \mathbf{X}=(x,y,z). Se \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v não forem independentes (ou um for o vetor zero), não existe um plano tangente bem definido via esse procedimento.
Ou seja, a normal degenerou (vetor zero), o que confirma que \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v não geram um plano de dimensão 2 naquele ponto.
Passo 6
Interpretação geométrica e conclusão didática: no vértice do cone (origem) a parametrização é singular — a matriz jacobiana tem posto 1, não 2. Isso significa que a definição padrão de plano tangente (usando \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v) falha: não há dois vetores tangentes linearmente independentes na origem, logo não existe um plano tangente único. De fato, para cada direção angular v_0 existe uma curva generatriz u\mapsto\mathbf{r}(u,v_0) cuja tangente em u=0 é
ou seja, uma reta tangente horizontal em cada direção do círculo; como essas retas variam com v_0, não há um único plano que sirva de tangente ao vértice. Pode-se falar em cone tangente (conjunto de todas essas retas) ou em retas tangentes dependentes de v_0, mas não em um plano tangente bem definido.
Resposta
Não existe plano tangente bem definido em (0,0,0) — o ponto é um vértice singular do cone (as derivadas parciais não geram um plano; \mathbf{r}_v(0,v)=\mathbf{0} e \mathbf{r}_u(0,v) depende de v).