a) Determine o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em 
 , da função 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar o polinômio de Taylor de grau 2, centrado em 
 , para a função 
 . Para isso, vamos precisar entender de polinômios de Taylor e calcular as derivadas da função até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma forma de aproximar funções usando uma série de polinômios. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau 2 centrado em 
  (também chamado de polinômio de Maclaurin) é:
Então, vamos calcular 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Vamos começar calculando 
 :
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de 
 :
Então, avaliando em 
 :
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada:
Usando a regra do produto:
Agora, avaliando em 
 :
Resposta
Então, substituindo na fórmula do polinômio de Taylor: