Determine os valores de 
  para os quais a função 
  é uma solução da equação diferencial 
 .
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de 
  que fazem com que a função 
  seja uma solução da equação diferencial 
 . Isso envolve entender equações diferenciais e como verificar se uma função dada satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que 
  é uma solução da equação diferencial. Isso quer dizer que, se substituirmos 
  na equação 
 , a igualdade deve ser verdadeira para qualquer valor de 
 .
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de 
  em relação a 
 . A função dada é 
 . Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Passo 4
Agora, substituímos 
  e 
  na equação diferencial 
 :
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Fatorando 
  e 
 :
Passo 6
Para que a equação seja igual a zero, o fator que multiplicamos deve ser zero, já que 
  e 
  nunca são zero. Então:
Isso pode ser fatorado como:
Passo 7
Então, as soluções são:
Resposta
Os valores de 
  que tornam 
  uma solução da equação diferencial são 
  e 
 .