Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2,-1) e B(3,5).

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria que envolve encontrar um ponto no eixo das abscissas (ou seja, no eixo x) que está igualmente distante de dois pontos dados, e . Para isso, vamos utilizar conceitos de distância entre pontos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é dada por:

Passo 3

Como o ponto está no eixo das abscissas, sua coordenada y é 0. Portanto, podemos representar como .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância de dPA = raiz(x - 2)^2 + (0 - (-1))^2 = raiz(x - 2)^2 + 1 até o ponto :

Passo 5

Em seguida, calculamos a distância de dPB = raiz(x - 3)^2 + (0 - 5)^2 = raiz(x - 3)^2 + 25 até o ponto :

Passo 6

Como raiz(x - 2)^2 + 1 = raiz(x - 3)^2 + 25 está igualmente distante de e , igualamos as duas distâncias:

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 2)^2 + 1 = (x - 3)^2 + 25

Passo 8

Expandindo os termos:
x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 25
x^2 - 4x + 5 = x^2 - 6x + 34

Passo 9

Subtraindo -4x + 5 = -6x + 34 de ambos os lados:

Passo 10

Adicionando 2x + 5 = 34 em ambos os lados para isolar os termos com :

Passo 11

Subtraindo 5 de ambos os lados:
2x = 29

Passo 12

Finalmente, dividindo por 2 para encontrar o valor de x = 292 = 14.5 :

Resposta

O ponto é .

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