Dados os vértices P(1,1), Q(3,-4) e R(-5,2) de um triângulo, calcule o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um triângulo com os vértices , e . A missão é descobrir o comprimento da mediana que parte do vértice . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como o ponto médio e a distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto médio do lado oposto ao vértice M( x1 + x22, y1 + y22 ) , que é o lado M( 1 + (-5)2, 1 + 22 ) = M( -42, 32 ) = M(-2, 1.5) . O ponto médio de dois pontos e é dado por:
Aplicando isso aos pontos e :

Passo 3

Agora que temos o ponto médio d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , vamos calcular a distância entre d = raiz(-2 - 3)^2 + (1.5 - (-4))^2 = raiz(-5)^2 + (5.5)^2 = raiz25 + 30.25 = raiz55.25 e d approx 7.43 unidades . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Substituindo os valores:
Calculando a raiz quadrada:

Resposta

O comprimento da mediana que parte do vértice é aproximadamente 7,43 unidades.

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