Determine o ponto de trabalho da bomba para os dados abaixo:
\begin{aligned} & \text { Hmsist }=10+6 Q^{2} \\\ & \text { Hmbomba }=25+1,2 Q-3 Q^{2} \end{aligned}
Determine o ponto de trabalho da bomba para os dados abaixo:

Passo 1

O enunciado fornece as curvas de carga do sistema e da bomba, dadas por
H_{\text{sist}} = 10 + 6\,Q^{2}
e
H_{\text{bomba}} = 25 + 1,2\,Q - 3\,Q^{2}
O ponto de trabalho é o par (Q,H) que satisfaz
H_{\text{sist}}(Q) = H_{\text{bomba}}(Q).

Passo 2

Igualamos as duas expressões:
10 + 6\,Q^{2} \;=\; 25 + 1,2\,Q - 3\,Q^{2}.

Passo 3

Reagrupando todos os termos num só lado:
6\,Q^{2} + 3\,Q^{2} - 1,2\,Q + 10 - 25 = 0
que simplifica para
9\,Q^{2} - 1,2\,Q - 15 = 0.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em \displaystyle a=9, b=-1,2, c=-15:
\Delta = b^{2} - 4ac = (-1,2)^{2} - 4\cdot9\cdot(-15) = 1,44 + 540 = 541,44,
Q = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1,2 \pm \sqrt{541,44}}{18} = \frac{1,2 \pm 23,27}{18}.

Passo 5

As duas raízes são
Q_{1} = \frac{1,2 + 23,27}{18} \approx 1,36, \qquad Q_{2} = \frac{1,2 - 23,27}{18} \approx -1,23.
Descartamos Q_{2} porque fluxo negativo não faz sentido físico. Logo,
Q \approx 1,36.

Passo 6

Para encontrar a altura correspondente, basta usar uma das curvas. Por exemplo,
H = 10 + 6\,(1,36)^{2} \approx 10 + 6\cdot1,85 = 10 + 11,1 = 21,1.

Resposta

O ponto de trabalho da bomba é
Q \approx 1,36, \quad H \approx 21,1.

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