Determine os pontos críticos da funçāo e classifique-os (caso haja):
f(x, y)=3+4 x y

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x,y)=3+4xy
e classificá-los. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, determinação de pontos críticos (onde o gradiente é zero) e uso da matriz hessiana para classificar o ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e igualamos a zero:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(3+4xy)=4y,\quad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(3+4xy)=4x.
Para f_x=0 e f_y=0 temos
4y=0\implies y=0,\quad 4x=0\implies x=0.
Logo, há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 3

Para classificar (0,0), montamos a hessiana:
f_{xx}=0,\quad f_{yy}=0,\quad f_{xy}=f_{yx}=4.
O determinante da hessiana é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0\cdot0 - 4^2 = -16 < 0.
Como D<0, o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um ponto de sela.

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