Dada a funçāo:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
Calcule:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3,-4)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada parcial de
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
em relação a x duas vezes, isto é \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(3,-4). O conteúdo é derivação parcial e precisaremos usar cadeia e produto.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{\tfrac12}
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac12\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=x\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12} novamente em relação a x. Usamos produto e cadeia:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12} + x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}\cdot2x
=(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12} -\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}} =\frac{x^{2}+y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}} =\frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac32}}\,.

Passo 4

Para (x,y)=(3,-4) temos x^{2}+y^{2}=9+16=25 e y^{2}=16. Logo
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(3,-4) =\frac{16}{25^{\tfrac32}} =\frac{16}{125}\,.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{125}

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