Determine os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 e as equações das retas tangentes nesses pontos.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar os pontos críticos da função e as equações das retas tangentes nesses pontos. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos onde a inclinação da função é zero ou onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função dada é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, nossa derivada é um polinômio, que está definida para todos os valores de , então vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo a equação:
Então:

Passo 4

Agora que temos os valores de que são pontos críticos, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos substituindo esses valores na função original .
Para :
Portanto, o ponto crítico é .
Para :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes nesses pontos. A equação de uma reta tangente em um ponto tem a forma:
Já calculamos . Vamos calcular e .
Para :
Logo, a inclinação da reta tangente é 0.
A equação da reta tangente é:
Para :
Novamente, a inclinação da reta tangente é 0.
A equação da reta tangente é:

Resposta

Os pontos críticos da função são e . As equações das retas tangentes nesses pontos são e , respectivamente.

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