Determine os pontos críticos da função
e as equações das retas tangentes nesses pontos.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar os pontos críticos da função
e as equações das retas tangentes nesses pontos. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos onde a inclinação da função é zero ou onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função dada é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, nossa derivada é um polinômio, que está definida para todos os valores de
, então vamos igualar a derivada a zero:
Resolvendo a equação:
Então:
Passo 4
Agora que temos os valores de
que são pontos críticos, vamos encontrar as coordenadas completas desses pontos substituindo esses valores na função original
.
Para
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Para
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes nesses pontos. A equação de uma reta tangente em um ponto
tem a forma:
Já calculamos
. Vamos calcular
e
.
Para
:
Logo, a inclinação da reta tangente é 0.
A equação da reta tangente é:
Para
:
Novamente, a inclinação da reta tangente é 0.
A equação da reta tangente é:
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. As equações das retas tangentes nesses pontos são
e
, respectivamente.