Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela. f(x, y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{2}+2 x^{2} y-y
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{2}+2x^{2}y-y
e que eu classifique cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas importantes: a função está definida em todo \mathbb{R}^{2} e é suave (possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas). A tarefa é: achar os pontos onde o gradiente é nulo (ou derivadas não existem, o que aqui não ocorre) e então usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
O que é um ponto crítico (em linguagem simples)? É um ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente. Em fórmulas:
Como D<0, pela regra acima o ponto crítico é um ponto de sela.
Também dá intuição: em uma direção (direção do eixo x) a curvatura é negativa (\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-2<0) e em outra (eixo y) é positiva (\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2>0), sinal típico de sela.]