Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{2}+2 x^{2} y-y

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{2}+2x^{2}y-y
e que eu classifique cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas importantes: a função está definida em todo \mathbb{R}^{2} e é suave (possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas). A tarefa é: achar os pontos onde o gradiente é nulo (ou derivadas não existem, o que aqui não ocorre) e então usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

O que é um ponto crítico (em linguagem simples)? É um ponto (x,y) onde as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente. Em fórmulas:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=(0,0).
Vou calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e resolver o sistema \nabla f(x,y)=(0,0).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a x. Primeiro, derive termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}-1\right)^{2}=2\left(x^{2}-1\right)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}-1\right)=2\left(x^{2}-1\right)\cdot 2x=4x\left(x^{2}-1\right).
O termo y^{2} não depende de x, logo sua derivada é 0. O termo 2x^{2}y visto como função de x (com y constante) tem derivada
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)=2y\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2y\cdot 2x=4xy.
O termo -y não depende de x. Somando tudo:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x\left(x^{2}-1\right)+4xy.
Posso fatorar 4x:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x\bigl(x^{2}+y-1\bigr).
Derivada parcial em relação a y. Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}-1\right)^{2}=0,
\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y,
\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}y)=2x^{2},
\frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=2y+2x^{2}-1.

Passo 4

Agora resolvo o sistema \nabla f(x,y)=(0,0), ou seja
4x\bigl(x^{2}+y-1\bigr)=0
2y+2x^{2}-1=0.
Da primeira equação temos duas possibilidades:
  1. \;x=0.
  2. \;x\neq 0 e então x^{2}+y-1=0, ou seja y=1-x^{2}.
Vou analisar cada caso.
Caso 1: \;x=0. Substituo na segunda equação:
2y+2\cdot 0^{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad 2y-1=0\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}.
Logo um candidato crítico é \left(0,\tfrac{1}{2}\right).
Caso 2: y=1-x^{2}. Substituo na segunda equação:
2(1-x^{2})+2x^{2}-1=0.
Calculo o lado esquerdo:
2-2x^{2}+2x^{2}-1=1.
Isso dá 1=0, contradição. Portanto não existem soluções nessa segunda possibilidade.
Conclusão: o único ponto crítico é
\left(0,\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Agora vou classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana. Algumas palavras sobre o método (passo-a-passo didático):
  • A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Para pontos críticos de funções de duas variáveis, a regra prática é: calcule D=\det H(x,y).
    • Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
      Essas condições vêm de usar autovalores da Hessiana (sinal das curvaturas nas direções principais).

Passo 6

Calculo as segundas derivadas.
Já temos
\frac{\partial f}{\partial x}=4x\bigl(x^{2}+y-1\bigr).
Derivando isso em x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=4\bigl(x^{2}+y-1\bigr)+4x\cdot 2x=4(x^{2}+y-1)+8x^{2}=12x^{2}+4y-4.
Derivando \frac{\partial f}{\partial x} em y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=4x.
Derivando \frac{\partial f}{\partial y}=2y+2x^{2}-1 em y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2.
Portanto a Hessiana geral é
H(x,y)=\begin{pmatrix} 12x^{2}+4y-4 & 4x\\[6pt] 4x & 2 \end{pmatrix}.
Avalio a Hessiana no ponto crítico \left(0,\tfrac{1}{2}\right). Substituindo x=0, y=\tfrac{1}{2}:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\Big|_{(0,\tfrac{1}{2})}=12\cdot 0^{2}+4\cdot\tfrac{1}{2}-4=2-4=-2,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\Big|_{(0,\tfrac{1}{2})}=4\cdot 0=0,
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\Big|_{(0,\tfrac{1}{2})}=2.
Logo
H\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
D=\det H\!\left(0,\tfrac{1}{2}\right)=(-2)\cdot 2 - 0^{2} = -4.
Como D<0, pela regra acima o ponto crítico é um ponto de sela.
Também dá intuição: em uma direção (direção do eixo x) a curvatura é negativa ( \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-2<0) e em outra (eixo y) é positiva ( \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2>0), sinal típico de sela.]

Resposta

\left(0,\tfrac{1}{2}\right) : ponto de sela

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