Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine os pontos críticos e os classifique como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Informação relevante que temos desde já: a função é definida e é suave (deriváveis de todas as ordens) em todo
.
Passo 2
O que é um ponto crítico (relembrando devagar e com paciência): é um ponto onde o gradiente da função é o vetor zero (ou onde derivadas parciais não existem). Aqui as derivadas existem sempre, então procuramos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam.
Primeiro calculamos as derivadas parciais. Lembre-se: para derivar
em relação a
usamos a regra da cadeia; para
derivamos normalmente.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
, ou seja
Dividindo por
(que é não nulo), obtemos
Da segunda equação segue
. Da primeira,
ou
, isto é
ou
.
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar pontos críticos usamos a matriz Hessiana (segunda derivadas). Vou explicar: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais; para duas variáveis,
O teste de segunda derivada diz: calcule
no ponto crítico. Se
e
então é mínimo local; se
e
então é máximo local; se
é ponto de sela; se
o teste é inconclusivo e precisamos de análise adicional.
Vamos calcular as segundas derivadas (observe que
porque as expressões em
e
são separadas):
Passo 5
Avaliando a Hessiana nos pontos críticos:
- Em
: , . Então
Como
o teste padrão é inconclusivo aqui — precisamos de argumento extra.
- Em
: mesma conta porque aparece : , , logo
também inconclusivo pelo mesmo motivo.
Então para
o teste dá
e precisamos de outra forma de decidir.
Passo 6
Para
e
use uma observação prática e poderosa: a função é soma de termos não negativos. Note que para todo
logo
Agora observe os valores em
e
:
Como a função é sempre maior ou igual a
e atinge
nesses pontos, esses pontos são pontos de mínimo global (portanto também mínimos locais). Outra forma de ver localmente: para
perto de
escrevendo
pequeno, temos
(termo quadrático positivo), e
é positivo para
, então
cresce ao sair de
em qualquer direção, confirmando mínimo.
Passo 7
Agora analisamos
. A Hessiana em
dá
novamente o teste é inconclusivo. Então fazemos uma análise por direções: compare o valor de
ao sair de
ao longo de diferentes direções.
- Ao longo do eixo
(ou seja, ):
Logo
e, para
pequeno mas não nulo,
(por exemplo
dá
). Ou seja, movendo-se na direção do eixo
a função inicialmente diminui.
- Ao longo do eixo
(ou seja, ):
que para
pequeno mas não nulo é
. Ou seja, movendo-se na direção do eixo
a função inicialmente aumenta.
Encontramos direções a partir de
em que
diminui e outras em que
aumenta. Isso caracteriza um ponto de sela: não é nem mínimo nem máximo local, porque há direções de subida e de descida.