Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{4}
e pede que eu determine os pontos críticos e os classifique como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Informação relevante que temos desde já: a função é definida e é suave (deriváveis de todas as ordens) em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

O que é um ponto crítico (relembrando devagar e com paciência): é um ponto onde o gradiente da função é o vetor zero (ou onde derivadas parciais não existem). Aqui as derivadas existem sempre, então procuramos os pontos onde ambas as derivadas parciais se anulam.
Primeiro calculamos as derivadas parciais. Lembre-se: para derivar \left(x^{2}-1\right)^{2} em relação a x usamos a regra da cadeia; para y^{4} derivamos normalmente.
\frac{\partial f}{\partial x}=4x\left(x^{2}-1\right)
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \nabla f=(0,0), ou seja
4x\left(x^{2}-1\right)=0,\qquad 4y^{3}=0.
Dividindo por 4 (que é não nulo), obtemos
x\left(x^{2}-1\right)=0,\qquad y^{3}=0.
Da segunda equação segue y=0. Da primeira, x=0 ou x^{2}-1=0, isto é x=0 ou x=\pm1.
Portanto os pontos críticos são
(0,0),\quad (1,0),\quad (-1,0).

Passo 4

Para classificar pontos críticos usamos a matriz Hessiana (segunda derivadas). Vou explicar: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais; para duas variáveis,
H(f)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
O teste de segunda derivada diz: calcule D=f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2} no ponto crítico. Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local; se D<0 é ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo e precisamos de análise adicional.
Vamos calcular as segundas derivadas (observe que f_{xy}=0 porque as expressões em x e y são separadas):
f_{xx}= \frac{d}{dx}\big(4x(x^{2}-1)\big)=12x^{2}-4,
f_{yy}= \frac{d}{dy}\big(4y^{3}\big)=12y^{2},
f_{xy}=f_{yx}=0.]

Passo 5

Avaliando a Hessiana nos pontos críticos:
  • Em (1,0): f_{xx}=12\cdot1^{2}-4=8, f_{yy}=0. Então
D(1,0)=8\cdot0-0=0.
Como D=0 o teste padrão é inconclusivo aqui — precisamos de argumento extra.
  • Em (-1,0): mesma conta porque aparece x^{2}: f_{xx}=12\cdot(-1)^{2}-4=8, f_{yy}=0, logo
D(-1,0)=8\cdot0-0=0,
também inconclusivo pelo mesmo motivo.
Então para (\pm1,0) o teste dá D=0 e precisamos de outra forma de decidir.

Passo 6

Para (1,0) e (-1,0) use uma observação prática e poderosa: a função é soma de termos não negativos. Note que para todo (x,y)
\left(x^{2}-1\right)^{2}\ge 0,\qquad y^{4}\ge 0,
logo
f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+y^{4}\ge 0.
Agora observe os valores em (1,0) e (-1,0):
f(1,0)=\left(1^{2}-1\right)^{2}+0^{4}=0,\qquad f(-1,0)=0.
Como a função é sempre maior ou igual a 0 e atinge 0 nesses pontos, esses pontos são pontos de mínimo global (portanto também mínimos locais). Outra forma de ver localmente: para x perto de 1 escrevendo x=1+u pequeno, temos \left(x^{2}-1\right)^{2}=(2u+u^{2})^{2}\approx 4u^{2} (termo quadrático positivo), e y^{4} é positivo para y\neq0, então f cresce ao sair de (1,0) em qualquer direção, confirmando mínimo.

Passo 7

Agora analisamos (0,0). A Hessiana em (0,0)
f_{xx}(0,0)=12\cdot0^{2}-4=-4,\qquad f_{yy}(0,0)=0,\qquad D(0,0)=-4\cdot0-0=0,
novamente o teste é inconclusivo. Então fazemos uma análise por direções: compare o valor de f ao sair de (0,0) ao longo de diferentes direções.
  • Ao longo do eixo x (ou seja, y=0):
f(x,0)=\left(x^{2}-1\right)^{2}.
Logo f(0,0)=1 e, para x pequeno mas não nulo, \left(x^{2}-1\right)^{2}=(1-x^{2})^{2}<1 (por exemplo x=0{,}1 (1-0{,}01)^{2}=0{,}9801<1). Ou seja, movendo-se na direção do eixo x a função inicialmente diminui.
  • Ao longo do eixo y (ou seja, x=0):
f(0,y)=1+y^{4},
que para y pequeno mas não nulo é >1. Ou seja, movendo-se na direção do eixo y a função inicialmente aumenta.
Encontramos direções a partir de (0,0) em que f diminui e outras em que f aumenta. Isso caracteriza um ponto de sela: não é nem mínimo nem máximo local, porque há direções de subida e de descida.

Resposta

(1,0) mínimo local (na verdade mínimo global).
(-1,0) mínimo local (na verdade mínimo global).
(0,0) ponto de sela.

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