Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela. f(x, y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2\left(x^{2}-1\right) y+x^{2} y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos críticos da função
e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x,y). Não há outras restrições no enunciado (domínio implícito é todo \mathbb{R}^2).
Passo 2
Definição e cálculo do gradiente (ponto crítico = gradiente nulo).
Um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras são nulas:
Vamos calcular as derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a x\). Trate termo a termo:
\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\bigl[(x^2-1)^2\bigr] &=2(x^2-1)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^2-1) =2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1),\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\bigl[2(x^2-1)y\bigr] &=2\cdot(2x)\cdot y=4xy,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x^2y^2\bigr] &=2x y^2. \end{aligned}
Note que da fórmula (2) segue que 1+y deve ser positivo (pois x^2\ge 0 e igual a 1/(1+y)), então y>-1.
Substituímos (2) em (1):
2\cdot\frac{1}{1+y}+y^2+2y-2=0.
Multiplicando ambos os lados por 1+y (válido pois 1+y\neq 0):
2+(y^2+2y-2)(1+y)=0.
Expandindo (y^2+2y-2)(1+y):
(y^2+2y-2)(1+y)=y^3+3y^2-2.
Logo
2+y^3+3y^2-2=0\quad\Rightarrow\quad y^3+3y^2=0.
Fatorando:
y^2(y+3)=0.
As soluções reais são y=0 (multiplicidade 2) e y=-3. Mas lembrando que precisamos de y>-1 (para que x^2=1/(1+y) seja não negativa), descartamos y=-3. Logo o único valor admissível é
y=0.
Substituindo em (2):
x^2=\frac{1}{1+0}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Concluímos que os pontos críticos são
(1,0)\quad\text{e}\quad(-1,0).
Passo 4
Classificação: primeira tentativa com o teste das segundas derivadas (Hessiana).
Calculamos as segundas derivadas parciais (explicando cada uma):
A partir de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr),
derivando de novo em x:
Quando o determinante da Hessiana é zero, temos que analisar termos de ordem superior ou explorar variações da função em direções específicas para decidir a natureza do ponto crítico.]
Passo 5
Análise mais fina por desenvolvimento direcional (usando expansão em torno do ponto na direção do núcleo da forma quadrática).
Explicação da estratégia: quando a forma quadrática de segunda ordem é degenerada há direções em que a contribuição quadrática é zero; então precisamos olhar para termos de ordem superior ao restringir f a uma curva que passe pelo ponto crítico nessa direção. Se a função assumir sinais opostos para t pequeno (positivo e negativo), é ponto de sela.
Para (1,0): a Hessiana tem núcleo gerado por vetores (a,b) que satisfazem 8a+4b=0, ou seja b=-2a. Tomamos a direção v=(1,-2). Parametrizamos a linha através de (1,0) por
x=1+t,\qquad y=0-2t=-2t.
Substituímos em f e expandimos em potências de t (passo a passo):
Para t pequeno o termo dominante é 8t^3, que muda de sinal conforme t muda de sinal. Portanto em direções opostas ao longo dessa reta a função toma valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de 0: isso caracteriza um ponto de sela. Logo (1,0) é ponto de sela.
Para (-1,0): a Hessiana tem núcleo com 8a-4b=0, ou seja b=2a. Tomamos a direção v=(1,2) e parametrizamos:
O termo dominante é -8t^3, que também muda de sinal quando t troca de sinal. Logo a função assume valores positivos e negativos arbitrariamente próximos do ponto, caracterizando novamente um ponto de sela. Portanto (-1,0) é ponto de sela.]
Passo 6
Resumo final da análise: os únicos pontos críticos são (1,0) e (-1,0). O teste de segunda derivada foi inconclusivo (Hessiana degenerada) em ambos; uma análise direcional por expansão mostrou variação de sinais (termo cúbico dominante) em voltas desses pontos, portanto ambos são pontos de sela.