Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de sela.
f(x, y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2\left(x^{2}-1\right) y+x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos críticos da função
f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2\left(x^{2}-1\right)y+x^{2}y^{2}
e classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x,y). Não há outras restrições no enunciado (domínio implícito é todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Definição e cálculo do gradiente (ponto crítico = gradiente nulo).
Um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais primeiras são nulas:
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vamos calcular as derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a x\). Trate termo a termo: \[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\bigl[(x^2-1)^2\bigr] &=2(x^2-1)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^2-1) =2(x^2-1)\cdot 2x=4x(x^2-1),\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\bigl[2(x^2-1)y\bigr] &=2\cdot(2x)\cdot y=4xy,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x^2y^2\bigr] &=2x y^2. \end{aligned}
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x(x^2-1)+4xy+2x y^2.
Fatorando 2x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr).
Derivada parcial em relação a y. Trate termo a termo:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\bigl[(x^2-1)^2\bigr]&=0,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2(x^2-1)y\bigr]&=2(x^2-1),\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\bigl[x^2y^2\bigr]&=2x^2 y. \end{aligned}
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y}=2\bigl(x^2-1+x^2 y\bigr)=2\bigl(x^2(1+y)-1\bigr).
Portanto o sistema \nabla f=0 é
\begin{cases} 2x\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr)=0,\\[4pt] 2\bigl(x^2(1+y)-1\bigr)=0. \end{cases}
Dividimos por (2] para simplificar:
\begin{cases} x\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr)=0,\\[4pt] x^2(1+y)-1=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema das derivadas parciais.
Primeiro observe a primeira equação: x\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr)=0. Podemos ter x=0 ou 2x^2+y^2+2y-2=0.
Verifiquemos o caso x=0. Substituindo na segunda equação temos
0\cdot(1+y)-1=-1\neq 0,
portanto x=0 não satisfaz o sistema. Logo x\neq 0 para pontos críticos.
Com x\neq 0 podemos dividir por x na primeira equação, obtendo
2x^2+y^2+2y-2=0. \tag{1}
A segunda equação dá
x^2(1+y)=1 \quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{1}{1+y}. \tag{2}
Note que da fórmula (2) segue que 1+y deve ser positivo (pois x^2\ge 0 e igual a 1/(1+y)), então y>-1.
Substituímos (2) em (1):
2\cdot\frac{1}{1+y}+y^2+2y-2=0.
Multiplicando ambos os lados por 1+y (válido pois 1+y\neq 0):
2+(y^2+2y-2)(1+y)=0.
Expandindo (y^2+2y-2)(1+y):
(y^2+2y-2)(1+y)=y^3+3y^2-2.
Logo
2+y^3+3y^2-2=0\quad\Rightarrow\quad y^3+3y^2=0.
Fatorando:
y^2(y+3)=0.
As soluções reais são y=0 (multiplicidade 2) e y=-3. Mas lembrando que precisamos de y>-1 (para que x^2=1/(1+y) seja não negativa), descartamos y=-3. Logo o único valor admissível é
y=0.
Substituindo em (2):
x^2=\frac{1}{1+0}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Concluímos que os pontos críticos são
(1,0)\quad\text{e}\quad(-1,0).

Passo 4

Classificação: primeira tentativa com o teste das segundas derivadas (Hessiana).
Calculamos as segundas derivadas parciais (explicando cada uma):
A partir de
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr),
derivando de novo em x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =2\bigl(2x^2+y^2+2y-2\bigr)+2x\cdot(4x) =12x^2+2y^2+4y-4.
Derivando \partial f/\partial x em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =2x\cdot(2y+2)=4x(y+1).
A partir de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2\bigl(x^2(1+y)-1\bigr),
derivando em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2x^2.
Assim a matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} 12x^2+2y^2+4y-4 & 4x(y+1)\\[6pt] 4x(y+1) & 2x^2 \end{pmatrix}.
Avaliando em (1,0):
H(1,0)=\begin{pmatrix}8 & 4\\[4pt]4 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
\det H(1,0)=8\cdot 2-4^2=16-16=0.
Determinante zero => teste das segundas derivadas inconclusivo (a forma quadrática é degenerada).
Avaliando em (-1,0):
H(-1,0)=\begin{pmatrix}8 & -4\\[4pt]-4 & 2\end{pmatrix},
e novamente
\det H(-1,0)=8\cdot 2-(-4)^2=16-16=0,
também inconclusivo.
Quando o determinante da Hessiana é zero, temos que analisar termos de ordem superior ou explorar variações da função em direções específicas para decidir a natureza do ponto crítico.]

Passo 5

Análise mais fina por desenvolvimento direcional (usando expansão em torno do ponto na direção do núcleo da forma quadrática).
Explicação da estratégia: quando a forma quadrática de segunda ordem é degenerada há direções em que a contribuição quadrática é zero; então precisamos olhar para termos de ordem superior ao restringir f a uma curva que passe pelo ponto crítico nessa direção. Se a função assumir sinais opostos para t pequeno (positivo e negativo), é ponto de sela.
Para (1,0): a Hessiana tem núcleo gerado por vetores (a,b) que satisfazem 8a+4b=0, ou seja b=-2a. Tomamos a direção v=(1,-2). Parametrizamos a linha através de (1,0) por
x=1+t,\qquad y=0-2t=-2t.
Substituímos em f e expandimos em potências de t (passo a passo):
Calculemos primeiro x^2 e x^2-1:
x^2=(1+t)^2=1+2t+t^2,\qquad x^2-1=2t+t^2.
Agora cada termo de f:
\begin{aligned} (x^2-1)^2&=(2t+t^2)^2=4t^2+4t^3+t^4,\\[4pt] 2(x^2-1)y&=2(2t+t^2)(-2t)=-8t^2-4t^3,\\[4pt] x^2y^2&=(1+2t+t^2)\cdot(4t^2)=4t^2+8t^3+4t^4. \end{aligned}
Somando:
f(1+t,-2t)=\bigl(4t^2+4t^3+t^4\bigr)+\bigl(-8t^2-4t^3\bigr)+\bigl(4t^2+8t^3+4t^4\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
f(1+t,-2t)=0\cdot t^2 +8t^3+5t^4=8t^3+5t^4.
Para t pequeno o termo dominante é 8t^3, que muda de sinal conforme t muda de sinal. Portanto em direções opostas ao longo dessa reta a função toma valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de 0: isso caracteriza um ponto de sela. Logo (1,0) é ponto de sela.
Para (-1,0): a Hessiana tem núcleo com 8a-4b=0, ou seja b=2a. Tomamos a direção v=(1,2) e parametrizamos:
x=-1+t,\qquad y=0+2t=2t.
Fazemos a mesma expansão:
Calculemos x^2 e x^2-1:
x^2=(-1+t)^2=1-2t+t^2,\qquad x^2-1=-2t+t^2.
Termos de f:
\begin{aligned} (x^2-1)^2&=(-2t+t^2)^2=4t^2-4t^3+t^4,\\[4pt] 2(x^2-1)y&=2(-2t+t^2)(2t)=-8t^2+4t^3,\\[4pt] x^2y^2&=(1-2t+t^2)\cdot(4t^2)=4t^2-8t^3+4t^4. \end{aligned}
Somando:
f(-1+t,2t)=\bigl(4t^2-4t^3+t^4\bigr)+\bigl(-8t^2+4t^3\bigr)+\bigl(4t^2-8t^3+4t^4\bigr),
o que dá
f(-1+t,2t)=0\cdot t^2 -8t^3+5t^4=-8t^3+5t^4.
O termo dominante é -8t^3, que também muda de sinal quando t troca de sinal. Logo a função assume valores positivos e negativos arbitrariamente próximos do ponto, caracterizando novamente um ponto de sela. Portanto (-1,0) é ponto de sela.]

Passo 6

Resumo final da análise: os únicos pontos críticos são (1,0) e (-1,0). O teste de segunda derivada foi inconclusivo (Hessiana degenerada) em ambos; uma análise direcional por expansão mostrou variação de sinais (termo cúbico dominante) em voltas desses pontos, portanto ambos são pontos de sela.

Resposta

(1,0) — ponto de sela
(-1,0) — ponto de sela

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