Determine em que pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2} a função f é contínua: f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+1) y}{(x+1)^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(-1,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(-1,0)\end{array}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}+1, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado apresenta duas definições de funções em \mathbb{R}^2 e pede onde cada uma é contínua. O conteúdo é verificar continuidade de funções racionais em \mathbb{R}^2 usando o fato de que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador é não-nulo, e checar em cada ponto “crítico” (onde o denominador zera) se
\lim_{(x,y)\to p}f(x,y)=f(p)
para concluir continuidade ou descontinuidade.

Passo 2

Analisemos primeiro
f_1(x,y)= \begin{cases} \dfrac{(x+1)y}{(x+1)^2+y^2},& (x,y)\neq(-1,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(-1,0). \end{cases}
Para (x,y)\neq(-1,0) o denominador (x+1)^2+y^2 é estritamente positivo, logo f_1 é quociente de polinômios não-nulo no denominador e, portanto, contínua em todo ponto com (x,y)\neq(-1,0).]

Passo 3

Resta verificar continuidade de f_1 em (-1,0). Defina
u=x+1,\quad v=y,
então (x,y)\to(-1,0) equivale a (u,v)\to(0,0) e
f_1(x,y)=\frac{uv}{u^2+v^2}.
Tomando a reta v=\mu\,u ( \mu\neq0) obtém-se
\frac{u(\mu u)}{u^2+\mu^2u^2} =\frac{\mu\,u^2}{u^2(1+\mu^2)} =\frac{\mu}{1+\mu^2}\,,
que independe de u e, portanto, dá diferentes limites quando \mu varia. Logo
\lim_{(x,y)\to(-1,0)}f_1(x,y)
não existe, de modo que f_1 é descontínua em (-1,0).

Passo 4

Agora a segunda função
f_2(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}+1,&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^2+y^2>0, então f_2 é quociente de polinômios mais constante, logo contínua fora de (0,0). Falta checar em (0,0): em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta tem­-se
\frac{x^2y}{x^2+y^2} =\frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} =r\cos^2\theta\sin\theta,
que tende a 0 quando r\to0 para qualquer \theta. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_2(x,y) =0+1=1 =f_2(0,0),
e f_2 é contínua também em (0,0).]

Passo 5

Concluindo, cada função é contínua em todos os pontos exceto onde falha a condição de existência do limite igual ao valor da função.

Resposta

Para
f_1(x,y)= \begin{cases} \dfrac{(x+1)y}{(x+1)^2+y^2},&(x,y)\neq(-1,0),\\\\ 0,&(x,y)=(-1,0), \end{cases}
[f_1) é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(-1,0)\} e descontínua em (-1,0).
Para
f_2(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}+1,&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 1,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
f_2\] é contínua em todo \(\mathbb{R}^2.

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