Determine em que pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2} a função f é contínua: f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{(x+1) y}{(x+1)^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(-1,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(-1,0)\end{array}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}+1, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.\right.
Passo 1
O enunciado apresenta duas definições de funções em \mathbb{R}^2 e pede onde cada uma é contínua. O conteúdo é verificar continuidade de funções racionais em \mathbb{R}^2 usando o fato de que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador é não-nulo, e checar em cada ponto “crítico” (onde o denominador zera) se
Para (x,y)\neq(-1,0) o denominador (x+1)^2+y^2 é estritamente positivo, logo f_1 é quociente de polinômios não-nulo no denominador e, portanto, contínua em todo ponto com (x,y)\neq(-1,0).]
Passo 3
Resta verificar continuidade de f_1 em (-1,0). Defina
Para (x,y)\neq(0,0) o denominador x^2+y^2>0, então f_2 é quociente de polinômios mais constante, logo contínua fora de (0,0). Falta checar em (0,0): em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta tem-se