Determine os pontos de máximo e de mínimo da função
sobre o elipsoide
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de
sob a restrição
.
O método mais direto é usar multiplicadores de Lagrange, em que introduzimos o multiplicador e exigimos
,
onde .
sob a restrição
O método mais direto é usar multiplicadores de Lagrange, em que introduzimos o multiplicador
onde
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
As condições de estacionaridade são
além da própria restrição
Passo 3
Das três primeiras equações obtemos
Isolando
em função de
dá
Passo 4
Substituindo esses valores na restrição
temos
Logo
.
Para achamos
Para
e para
os sinais invertem.
Passo 5
Calculamos o valor de
nesses pontos:
no ponto
no ponto
que é o valor máximo.
No ponto
No ponto
que é o valor mínimo sobre o elipsoide.
Resposta
Máximo em
com
.
Mínimo em com
.
Mínimo em