Determine os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y, z)=x+2 y+3 z sobre o elipsoide 2 x^2+y^2+z^2=8.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de
f(x,y,z)=x+2y+3z
sob a restrição
;2x^2+y^2+z^2=8.
O método mais direto é usar multiplicadores de Lagrange, em que introduzimos o multiplicador lambda e exigimos
nabla f = lambda ,nabla g,
onde g(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2-8.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=x+2y+3z ;-;lambdal(2x^2+y^2+z^2-8r)
As condições de estacionaridade são
partial Lpartial x=1- lambda,(4x)=0, partial Lpartial y=2- lambda,(2y)=0, partial Lpartial z=3- lambda,(2z)=0,
além da própria restrição
2x^2+y^2+z^2=8

Passo 3

Das três primeiras equações obtemos
1 = 4lambda x, 2 = 2lambda y, 3 = 2lambda z
Isolando x,y,z em função de lambda
x=14lambda, y=1lambda, z=32lambda

Passo 4

Substituindo esses valores na restrição
2l(tfrac14lambdar)^2 + l(tfrac1lambdar)^2 + l(tfrac32lambdar)^2 =8
temos
18lambda^2+1lambda^2+94lambda^2 =278lambda^2=8 Longrightarrow lambda^2=2764
Logo lambda=pm3raiz38.
Para lambda=+tfrac3raiz38 achamos
x=2raiz39, y=8raiz39, z=4raiz33,
e para lambda=-tfrac3raiz38 os sinais invertem.

Passo 5

Calculamos o valor de f nesses pontos:
no ponto l(tfrac2raiz39,tfrac8raiz39,tfrac4raiz33r)
f= x+2y+3z = 2raiz39 + 16raiz39 + 4raiz3 =6raiz3,
que é o valor máximo.
No ponto l(-tfrac2raiz39,-tfrac8raiz39,-tfrac4raiz33r)
f=-6raiz3,
que é o valor mínimo sobre o elipsoide.

Resposta

Máximo em l(tfrac2raiz39,tfrac8raiz39,tfrac4raiz33r) com f=6raiz3.
Mínimo em l(-tfrac2raiz39,-tfrac8raiz39,-tfrac4raiz33r) com f=-6raiz3.

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