Questão 1. Suponha que a população de Passo Fundo de 200.000 pessoas está exposta à gripe H1N1, uma doença contagiosa que se espalha. No instante t=0, o número N=N(t) de pessoas que infectadas é de 2.000 e est 'a crescendo a uma taxa de 200 pessoas por dia. A taxa de crescimento N(t) em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que N^prime(t) é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm.
Deduza a equação diferencial que governa este processo e calcule quanto tempo levará para que outras 2.000 pessoas peguem a doença.

Passo 1

O enunciado trata de um crescimento logístico: a cidade tem população total P=200,000, o número de infectados é N(t) com N(0)=2,000 e cresce inicialmente a N'(0)=200 pessoas/dia. Diz-se que
N'(t)propto N(t)l(P-N(t)r),
logo vamos montar a equação diferencial logística e depois determinar o tempo para N(t)=4,000.

Passo 2

Escrevendo a proporcionalidade com constante k>0, obtemos a equação diferencial
N'(t)=k,N(t)l(P-N(t)r)
Para achar k, usamos N(0)=2,000 e N'(0)=200:
200 = kcdot 2,000cdotl(200,000-2,000r)

Passo 3

Calculando k:
k = 2002,000cdot198,000 =11,980,000

Passo 4

Resolvendo a logística por separação de variáveis, escrevemos
dNN(P-N) = k,dt
Fazendo frações parciais percebe-se que
1N(P-N)=1Pl(1N+1P-Nr),
logo ao integrar
1PlnNP-N=k,t + C
Aplicando t=0,;N=N0=2,000 determina-se C.

Passo 5

Da condição inicial tira-se
1Pln2,000198,000=C,
portanto a solução implícita é
lnNP-N-ln2,000198,000 = k,P,t
Queremos o tempo t tal que N=4,000; então
t =1kPlngl(tfrac4,000200,000-4,000tfrac2,000200,000-2,000gr)

Passo 6

Substituindo P=200,000 e k=tfrac11,980,000:
kP = 200,0001,980,000=1099,
4,000196,000/2,000198,000 =4,000cdot198,000196,000cdot2,000 =9949
Logo
t = 1kPln9949 =9910ln9949 approx 6,96 diasapprox7 dias

Resposta

O número de infectados chegará a 4,000 em aproximadamente 7 dias.

Exercícios relacionados