Questão 1. Suponha que a população de Passo Fundo de 200.000 pessoas está exposta à gripe H1N1, uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 2.000 e est 'a crescendo a uma taxa de 200 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm.
Deduza a equação diferencial que governa este processo e calcule quanto tempo levará para que outras 2.000 pessoas peguem a doença.
Passo 1
O enunciado trata de um crescimento logístico: a cidade tem população total
, o número de infectados é
com
e cresce inicialmente a
pessoas/dia. Diz-se que
logo vamos montar a equação diferencial logística e depois determinar o tempo para
.
Passo 2
Escrevendo a proporcionalidade com constante
, obtemos a equação diferencial
Para achar
, usamos
e
:
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Resolvendo a logística por separação de variáveis, escrevemos
Fazendo frações parciais percebe-se que
logo ao integrar
Aplicando
determina-se
.
Passo 5
Da condição inicial tira-se
portanto a solução implícita é
Queremos o tempo
tal que
; então
Passo 6
Substituindo
e
:
Logo
Resposta
O número de infectados chegará a
em aproximadamente
dias.