Determine os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de f em cada domínio D indicado:
f(x, y)=3 x^{2}-2 y^{2}, D: x^{2}+y^{2} \leq 4

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) da função f(x,y)=3x^{2}-2y^{2} no domínio D:\;x^{2}+y^{2}\leq 4.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=3x^{2}-2y^{2}.
  • O domínio D é o disco fechado de raio 2 centrado na origem, isto é \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\}.
  • O domínio inclui a fronteira (a circunferência de raio 2) porque a desigualdade é \leq.
O que temos que encontrar: todos os pontos em D onde f atinge seu valor máximo absoluto e seu valor mínimo absoluto, juntamente com esses valores.

Passo 2

Observação teórica importante (muito usada em provas): uma função contínua definida num conjunto compacto atinge valores máximo e mínimo absolutos nesse conjunto. O disco fechado D é compacto (fechado e limitado) e f é polinomial (logo contínua). Portanto existem máximos e mínimos absolutos de f em D. O procedimento padrão é:
  1. procurar pontos críticos no interior do domínio (onde o gradiente é zero);
  2. analisar a fronteira do domínio (a circunferência x^{2}+y^{2}=4);
  3. comparar os valores obtidos para decidir quais são máximos e mínimos absolutos.

Passo 3

Vamos achar os pontos críticos no interior de D.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x,
\frac{\partial f}{\partial y}=-4y.
Pontos críticos satisfazem \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0, isto é
6x=0\quad\text{e}\quad -4y=0.
Daí x=0 e y=0. Então o único ponto crítico é (0,0), que pertence ao interior de D.
Avalie f em (0,0):
f(0,0)=3\cdot 0^{2}-2\cdot 0^{2}=0.
No momento guardamos esse valor para comparar depois com os da fronteira.

Passo 4

Agora analisamos a fronteira x^{2}+y^{2}=4. Método escolhido: parametrizar a circunferência — é simples e direto e evita Lagrange se você preferir trigonometria básica.
Parametrização típica: para algum parâmetro t,
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Substituindo na função f obtemos uma função de uma variável t:
f(t)=3(2\cos t)^{2}-2(2\sin t)^{2}.

Passo 5

Simplificamos f(t):
Primeiro calcule os quadrados:
(2\cos t)^{2}=4\cos^{2}t,\qquad (2\sin t)^{2}=4\sin^{2}t.
Logo
f(t)=3\cdot 4\cos^{2}t - 2\cdot 4\sin^{2}t =12\cos^{2}t-8\sin^{2}t.
Usamos as identidades de duplicação: \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos 2t}{2} e \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}. Substituindo:
f(t)=12\cdot \frac{1+\cos 2t}{2} -8\cdot \frac{1-\cos 2t}{2}.
Simplificando:
f(t)=6(1+\cos 2t)-4(1-\cos 2t)=6+6\cos 2t-4+4\cos 2t=2+10\cos 2t.
Portanto sobre a fronteira temos a função de uma variável
f(t)=2+10\cos 2t.

Passo 6

Agora encontramos extremos de f(t) em t\in[0,2\pi). Derivando:
f'(t)=-20\sin 2t.
Zerando a derivada:
-20\sin 2t=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin 2t=0 \quad\Longrightarrow\quad 2t=k\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
Assim t=\dfrac{k\pi}{2}. Tomando t no intervalo [0,2\pi) obtemos os candidatos
t=0,\;\frac{\pi}{2},\;\pi,\;\frac{3\pi}{2}.
Calculamos f(t) nesses pontos usando f(t)=2+10\cos 2t:
  • Para t=0: \cos 2t=\cos 0=1 então f(0)=2+10\cdot 1=12. Ponto correspondente (x,y)=(2\cos0,2\sin0)=(2,0).
  • Para t=\pi: \cos 2t=\cos 2\pi=1 então f(\pi)=12. Ponto correspondente (x,y)=(2\cos\pi,2\sin\pi)=(-2,0).
  • Para t=\dfrac{\pi}{2}: \cos 2t=\cos \pi=-1 então f(\tfrac{\pi}{2})=2+10(-1)=-8. Ponto correspondente (x,y)=(0,2).
  • Para t=\dfrac{3\pi}{2}: \cos 2t=\cos 3\pi=-1 então f(\tfrac{3\pi}{2})=-8. Ponto correspondente (x,y)=(0,-2).
Também é possível ver diretamente pela forma f(t)=2+10\cos2t que o máximo ocorre quando \cos2t=1 e o mínimo quando \cos2t=-1, que coincide com os pontos acima.

Passo 7

Compare os valores obtidos:
  • Valores na fronteira: máximos f=12 em (2,0) e (-2,0); mínimos f=-8 em (0,2) e (0,-2).
  • Valor no interior (ponto crítico (0,0)): f(0,0)=0, que está entre -8 e 12, logo não é extremo absoluto.
Como já garantimos pela teoria que os extremos absolutos existem e devem ser um dos valores computados (interior ou fronteira), concluímos que os extremos absolutos do problema são exatamente os encontrados na fronteira.

Resposta

Máximos globais: (2,0) e (-2,0), com f=12.
Mínimos globais: (0,2) e (0,-2), com f=-8.

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