Determine os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de
em cada domínio
indicado:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) da função
no domínio
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio
é o disco fechado de raio centrado na origem, isto é . - O domínio inclui a fronteira (a circunferência de raio
) porque a desigualdade é .
O que temos que encontrar: todos os pontos em
onde
atinge seu valor máximo absoluto e seu valor mínimo absoluto, juntamente com esses valores.
Passo 2
Observação teórica importante (muito usada em provas): uma função contínua definida num conjunto compacto atinge valores máximo e mínimo absolutos nesse conjunto. O disco fechado
é compacto (fechado e limitado) e
é polinomial (logo contínua). Portanto existem máximos e mínimos absolutos de
em
. O procedimento padrão é:
- procurar pontos críticos no interior do domínio (onde o gradiente é zero);
- analisar a fronteira do domínio (a circunferência
); - comparar os valores obtidos para decidir quais são máximos e mínimos absolutos.
Passo 3
Vamos achar os pontos críticos no interior de
.
Calcule as derivadas parciais:
Pontos críticos satisfazem
e
, isto é
Daí
e
. Então o único ponto crítico é
, que pertence ao interior de
.
Avalie
em
:
No momento guardamos esse valor para comparar depois com os da fronteira.
Passo 4
Agora analisamos a fronteira
. Método escolhido: parametrizar a circunferência — é simples e direto e evita Lagrange se você preferir trigonometria básica.
Parametrização típica: para algum parâmetro
,
Substituindo na função
obtemos uma função de uma variável
:
Passo 5
Simplificamos
:
Primeiro calcule os quadrados:
Logo
Usamos as identidades de duplicação:
e
. Substituindo:
Simplificando:
Portanto sobre a fronteira temos a função de uma variável
Passo 6
Agora encontramos extremos de
em
. Derivando:
Zerando a derivada:
Assim
. Tomando
no intervalo
obtemos os candidatos
Calculamos
nesses pontos usando
:
-
Para
: então . Ponto correspondente . -
Para
: então . Ponto correspondente . -
Para
: então . Ponto correspondente . -
Para
: então . Ponto correspondente .
Também é possível ver diretamente pela forma
que o máximo ocorre quando
e o mínimo quando
, que coincide com os pontos acima.
Passo 7
Compare os valores obtidos:
- Valores na fronteira: máximos
em e ; mínimos em e . - Valor no interior (ponto crítico
): , que está entre e , logo não é extremo absoluto.
Como já garantimos pela teoria que os extremos absolutos existem e devem ser um dos valores computados (interior ou fronteira), concluímos que os extremos absolutos do problema são exatamente os encontrados na fronteira.
Resposta
Máximos globais:
e
, com
.
Mínimos globais: e
, com
.
Mínimos globais: