Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: f(x, y)=x^{5}+y^{5}-5 x y^{4}+5 y^{3}
Passo 1
O que o enunciado pede e que informações temos:
Pede: determinar os pontos críticos da função f(x,y)=x^{5}+y^{5}-5xy^{4}+5y^{3} e classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y). Não há restrição de domínio além de (x,y)\in\mathbb{R}^2.
O que vamos procurar: pontos críticos são pontos onde o gradiente é nulo, isto é, onde \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). Depois, para classificar, usaremos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas (quando possível). Não começarei a resolver ainda — só enumerei o pedido e os dados.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente).
Definição/ideia rápida: a derivada parcial f_x é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; f_y é análoga.
Aplique regra de potência e linearidade termo a termo:
\partial_y(5xy^4)=5x\cdot 4y^3 =20 x y^3 e como o sinal no f é - fica -20xy^3.
\partial_y(5y^3)=15y^2.
Logo
f_y = 5y^4 - 20xy^3 + 15y^2.
Podemos fatorar f_y para facilitar:
f_y = 5y^2\bigl(y^2 - 4xy + 3\bigr).
Passo 3
Resolver o sistema \nabla f=(0,0)\), ou seja
\[\begin{cases} f_x = 5\bigl(x^4 - y^4\bigr)=0,\\[4pt] f_y = 5y^2\bigl(y^2 - 4xy + 3\bigr)=0. \end{cases}
Podemos dividir por (5] sem alterar soluções. As equações equivalem a \begin{cases} x^4 = y^4,\\[4pt] y^2\bigl(y^2 - 4xy + 3\bigr)=0. \end{cases}
Analisamos as possibilidades:
Caso A: y=0. Então da primeira equação x^4=y^4=0, logo x=0. Isso dá o ponto crítico (0,0).
Caso B: y\neq 0. Então da segunda equação precisamos ter
y^2 - 4xy + 3 = 0.
Da primeira equação x^4=y^4 implica |x|=|y|, ou seja x=y ou x=-y (para reias).
Perto de (0,0) os termos de ordem mais baixa dominam o comportamento; o termo de menor grau é 5y^3 (grau 3), pois não há termos de grau 1 ou 2.
Analisando ao longo de eixos:
Se tomarmos x=0, então f(0,y)=y^5+5y^3 = y^3(y^2+5). Para pequenos y, o sinal é dominado por y^3: para y>0 pequeno, f(0,y)>0; para y<0 pequeno, f(0,y)<0. Ou mais diretamente, pelo termo 5y^3.
Assim, ao nos movermos ao longo do eixo y com x muito pequeno, f assume sinais positivos e negativos arbitrariamente próximos da origem.
Conclusão: existe troca de sinal arbitrariamente próxima de (0,0), logo (0,0) não é nem mínimo local nem máximo local; é um ponto de sela (sinal indefinido).
Resposta
(0,0): ponto de sela. (1,1): ponto de sela. (-1,-1): ponto de sela.