Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f(x, y)=x^{5}+y^{5}-5 x y^{4}+5 y^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e que informações temos:
  • Pede: determinar os pontos críticos da função f(x,y)=x^{5}+y^{5}-5xy^{4}+5y^{3} e classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou ponto de sela).
  • Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y). Não há restrição de domínio além de (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • O que vamos procurar: pontos críticos são pontos onde o gradiente é nulo, isto é, onde \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). Depois, para classificar, usaremos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas (quando possível). Não começarei a resolver ainda — só enumerei o pedido e os dados.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais primeiras (gradiente).
  • Definição/ideia rápida: a derivada parcial f_x é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo; f_y é análoga.
  • Aplique regra de potência e linearidade termo a termo:
f(x,y)=x^{5}+y^{5}-5xy^{4}+5y^{3}.
Derivando em x:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^5\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^5\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5xy^4\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5y^3\bigr).
Termo a termo:
  • \partial_x(x^5)=5x^4.
  • \partial_x(y^5)=0 (porque y é tratado como constante).
  • \partial_x(5xy^4)=5y^4.
  • \partial_x(5y^3)=0.
    Logo
f_x = 5x^4 - 5y^4 = 5\bigl(x^4-y^4\bigr).
Derivando em y:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^5\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^5\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5xy^4\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5y^3\bigr).
Termo a termo:
  • \partial_y(x^5)=0.
  • \partial_y(y^5)=5y^4.
  • \partial_y(5xy^4)=5x\cdot 4y^3 =20 x y^3 e como o sinal no f é - fica -20xy^3.
  • \partial_y(5y^3)=15y^2.
    Logo
f_y = 5y^4 - 20xy^3 + 15y^2.
Podemos fatorar f_y para facilitar:
f_y = 5y^2\bigl(y^2 - 4xy + 3\bigr).

Passo 3

Resolver o sistema \nabla f=(0,0)\), ou seja \[\begin{cases} f_x = 5\bigl(x^4 - y^4\bigr)=0,\\[4pt] f_y = 5y^2\bigl(y^2 - 4xy + 3\bigr)=0. \end{cases}
Podemos dividir por (5] sem alterar soluções. As equações equivalem a
\begin{cases} x^4 = y^4,\\[4pt] y^2\bigl(y^2 - 4xy + 3\bigr)=0. \end{cases}
Analisamos as possibilidades:
  • Caso A: y=0. Então da primeira equação x^4=y^4=0, logo x=0. Isso dá o ponto crítico (0,0).
  • Caso B: y\neq 0. Então da segunda equação precisamos ter
y^2 - 4xy + 3 = 0.
Da primeira equação x^4=y^4 implica |x|=|y|, ou seja x=y ou x=-y (para reias).
  • Subcaso B1: x=y. Substituindo em y^2-4xy+3=0
y^2 - 4y^2 + 3 = -3y^2 + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad y^2 = 1.
Assim y=\pm 1, e como x=y obtemos os pontos (1,1) e (-1,-1).
  • Subcaso B2: x=-y. Substituindo em y^2-4xy+3
y^2 - 4(-y)y + 3 = y^2 + 4y^2 + 3 = 5y^2 + 3 = 0,
que não tem solução real (pois 5y^2+3>0 para todo y\in\mathbb{R}). Logo não há pontos reais desse tipo.
Conclusão dessa etapa: os pontos críticos reais são exatamente
(0,0),\quad (1,1),\quad (-1,-1).]

Passo 4

Explicar o teste das segundas derivadas (Hessiano) e como usá-lo para classificar:
  • Matriz Hessiana H de f é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
com f_{xy}=f_{yx} se f é suficientemente suave.
  • Regra do teste (caso não degenerado): calcule D = \det H(x_0,y_0) = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto é máximo local.
    • Se D<0 então ponto é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (precisamos de análise adicional).
Vou calcular as segundas derivadas.]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas explícitas (componentes do Hessiano).
Partindo de f_x = 5x^4 - 5y^4 e f_y = 5y^4 - 20xy^3 + 15y^2:
  • Diferenciando f_x em x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(5x^4 - 5y^4) = 20x^3.
  • Diferenciando f_x em y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^4 - 5y^4) = -20y^3.
  • Diferenciando f_y em y:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(5y^4 - 20xy^3 + 15y^2\bigr) =20y^3 - 60xy^2 + 30y.
(Confirme que f_{yx}=\partial_x f_y = -20y^3 = f_{xy}, coerente.)

Passo 6

Avaliar o Hessiano e D em cada ponto crítico e aplicar o teste.
Ponto (1,1):
  • f_{xx}(1,1)=20\cdot 1^3 = 20.
  • f_{xy}(1,1)=-20\cdot 1^3 = -20.
  • f_{yy}(1,1)=20\cdot1^3 -60\cdot1\cdot1^2 +30\cdot1 = 20-60+30 = -10.
    Determinante:
D(1,1) = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 20\cdot(-10) - (-20)^2 = -200 - 400 = -600 < 0.
Como D<0, o ponto (1,1) é um ponto de sela.
Ponto (-1,-1):
  • f_{xx}(-1,-1)=20\cdot(-1)^3 = -20.
  • f_{xy}(-1,-1)=-20\cdot(-1)^3 = 20.
  • f_{yy}(-1,-1)=20(-1)^3 -60(-1)(-1)^2 +30(-1).
    Calcule passo a passo:
    \;20(-1)^3 = -20,\quad -60(-1)(1)= +60,\quad 30(-1)=-30.
    Soma: -20+60-30 = 10.
    Determinante:
D(-1,-1) = (-20)\cdot 10 - 20^2 = -200 - 400 = -600 < 0.
Como D<0, o ponto (-1,-1) também é ponto de sela.

Passo 7

Analisar o caso (0,0) (teste das segundas derivadas é inconclusivo) e concluir a classificação:
  • Avaliando segundas derivadas em (0,0):
f_{xx}(0,0)=20\cdot 0^3 = 0,\quad f_{xy}(0,0)=-20\cdot 0^3 = 0,\quad f_{yy}(0,0)=20\cdot0^3 -60\cdot0\cdot0^2 +30\cdot0 = 0.
Então D(0,0)=0 e o teste é inconclusivo. Precisamos de análise de ordem superior.
  • Ideia prática: olhar para a expansão/polynomial de baixo grau (termos dominantes) perto da origem. Reescrevendo f:
f(x,y) = \underbrace{5y^3}_{\text{grau 3}} \;+\; \underbrace{(-5xy^4 + x^5 + y^5)}_{\text{grau}\ge 5}.
Perto de (0,0) os termos de ordem mais baixa dominam o comportamento; o termo de menor grau é 5y^3 (grau 3), pois não há termos de grau 1 ou 2.
  • Analisando ao longo de eixos:
    • Se tomarmos x=0, então f(0,y)=y^5+5y^3 = y^3(y^2+5). Para pequenos y, o sinal é dominado por y^3: para y>0 pequeno, f(0,y)>0; para y<0 pequeno, f(0,y)<0. Ou mais diretamente, pelo termo 5y^3.
    • Assim, ao nos movermos ao longo do eixo y com x muito pequeno, f assume sinais positivos e negativos arbitrariamente próximos da origem.
  • Conclusão: existe troca de sinal arbitrariamente próxima de (0,0), logo (0,0) não é nem mínimo local nem máximo local; é um ponto de sela (sinal indefinido).

Resposta

(0,0): ponto de sela.
(1,1): ponto de sela.
(-1,-1): ponto de sela.

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