Determine os pontos da reta real que estão a uma distância de 10 unidades de 6 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os pontos da reta real que estão a uma distância de 10 unidades de 6.
Informações dadas:
  • O ponto fixo na reta é 6.
  • A distância desejada é 10.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que a distância entre x e 6 seja 10.

Passo 2

Entendendo “distância na reta real” e o valor absoluto (a ideia por trás).
  • Na reta real, a distância entre dois pontos x\) e \(a\) é dada por \(|x-a|\). - O valor absoluto \(|y|\) é definido como: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -\,y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Isto significa que |y|\] representa a distância de \(y até 0; por isso |x-a| representa a distância de x até a. Exemplo rápido: |-3|=3 porque a distância de -3 até 0 é 3.]

Passo 3

Traduzindo o enunciado para uma equação matemática usando a ideia acima: queremos todos os x tais que a distância de x até 6 seja 10. Logo escrevemos a equação
|x-6|=10.

Passo 4

Resolver a equação |x-6|=10 por casos (método padrão para equações com valor absoluto). A definição do valor absoluto implica dois casos:
  1. Se x-6\ge 0, então |x-6|=x-6. A equação fica
x-6=10 \quad\Rightarrow\quad x=16.
  1. Se x-6<0, então |x-6|=-(x-6)=6-x. A equação fica
6-x=10 \quad\Rightarrow\quad -x=4 \quad\Rightarrow\quad x=-4.
Assim obtemos as duas candidatas x=16 e x=-4.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar):
|16-6| = |10| = 10, \qquad |-4-6| = |-10| = 10.
Ambas satisfazem a equação original, portanto são soluções válidas.

Passo 6

Regra geral e interpretação geométrica (para usar na prova): para qualquer a\in\mathbb{R} e qualquer b\ge 0, as soluções da equação
|x-a|=b
são exatamente
x=a+b \quad\text{e}\quad x=a-b,
isto é, os dois pontos na reta situados a distância b para a direita e para a esquerda de a. Aqui a=6 e b=10, por isso x=6\pm10.

Resposta

16
-4

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