Determine os pontos da reta real que estão a uma distância de \frac{3}{2} unidades de -1 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os pontos da reta real que estão a uma distância de \tfrac{3}{2} unidades do ponto -1.
Informações dadas:
  • O ponto fixo é -1.
  • A distância desejada é \tfrac{3}{2}.
O que se pede:
  • Encontrar todos os números reais x tais que a distância entre x e -1 seja \tfrac{3}{2}.

Passo 2

Conceito importante (distância na reta real): a distância entre dois pontos a\) e \(b\) na reta real é dada por \(|a-b|\). Aqui \(|\cdot|\) é o valor absoluto, que transforma um número em sua magnitude não negativa. Relembrando a definição do valor absoluto: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Exemplos rápidos para fixar: |3|=3\] e \(|-2|=2.]

Passo 3

Traduzir o enunciado em uma equação usando a definição de distância. Queremos todos x\in\mathbb{R} tais que a distância entre x e -1 seja \tfrac{3}{2}. Portanto:
|x-(-1)|=\tfrac{3}{2}.
Simplificando o interior do valor absoluto:
|x+1|=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Resolver a equação do tipo |u|=c com c\ge 0. Propriedade útil: |u|=c é equivalente ao sistema
u=c\quad\text{ou}\quad u=-c.
Isto acontece porque o valor absoluto de u é c quando u é exatamente c ou exatamente -c.
Aplicando aqui com u=x+1 e c=\tfrac{3}{2}, obtemos duas equações:
x+1=\tfrac{3}{2} \qquad\text{ou}\qquad x+1=-\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Resolver a primeira equação x+1=\tfrac{3}{2}. Subtrai-se 1 de ambos os lados:
x=\tfrac{3}{2}-1.
Fazendo a conta com frações (colocando 1=\tfrac{2}{2}):
x=\tfrac{3}{2}-\tfrac{2}{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resolver a segunda equação x+1=-\tfrac{3}{2}. Subtrai-se 1 de ambos os lados:
x=-\tfrac{3}{2}-1.
Transformando 1=\tfrac{2}{2}:
x=-\tfrac{3}{2}-\tfrac{2}{2}=-\tfrac{5}{2}.

Passo 7

Conferir as soluções verificando a equação original |x+1|=\tfrac{3}{2}.
Para x=\tfrac{1}{2}:
|x+1|=\bigl|\tfrac{1}{2}+1\bigr|=\bigl|\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{2}\bigr|=\bigl|\tfrac{3}{2}\bigr|=\tfrac{3}{2}.
Para x=-\tfrac{5}{2}:
|x+1|=\bigl|-\tfrac{5}{2}+1\bigr|=\bigl|-\tfrac{5}{2}+\tfrac{2}{2}\bigr|=\bigl|-\tfrac{3}{2}\bigr|=\tfrac{3}{2}.
Ambos satisfazem a condição, logo são soluções válidas.

Passo 8

Interpretação geométrica rápida (para fixar): as soluções são os dois pontos na reta real que ficam uma à direita e outro à esquerda de -1, cada um a uma distância \tfrac{3}{2}. Numericamente, esses pontos são \tfrac{1}{2} (que é -1 + \tfrac{3}{2}) e -\tfrac{5}{2} (que é -1 - \tfrac{3}{2}). Você conseguiu — é sempre assim: duas soluções simétricas em torno do ponto dado.

Resposta

\tfrac{1}{2}
-\tfrac{5}{2}

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