Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}^{2}\left(x^{2}\right)+\ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2} \arctan (x)}

Passo 1

O enunciado pede os pontos de continuidade da função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}\,\arctan(x)}.
O conteúdo usado será análise de domínio e propriedades de continuidade de soma, produto e quociente de funções contínuas.

Passo 2

Identificamos o domínio de f. O numerador \operatorname{sen}^{2}(x^{2})+\ln(x^{2}+1) está definido e é contínuo para todo x\in\mathbb{R}. O denominador x^{2}\,\arctan(x) é contínuo em \mathbb{R}, mas não pode ser zero. Logo, exigimos
x^{2}\,\arctan(x)\neq0
o que implica x\neq0 (pois \arctan(x)=0 só em x=0 e x^2=0 só em x=0).
Portanto o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Sabemos que soma e produto de funções contínuas são contínuos, e que a razão entre funções contínuas é contínua onde o denominador não se anula. Como numerador e denominador de f são contínuos em cada x\neq0 e o denominador é não nulo em \mathbb{R}\setminus\{0\}, concluímos que f é contínua em todo ponto do domínio.

Resposta

f é contínua em \;(-\infty,0)\cup(0,\infty).)

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