Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
f(x)=\cos \left(\ln \left(\frac{x^{4}+4}{x^{2}}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede em quais pontos a função
f(x)=\cos\!\Bigl(\ln\bigl(\tfrac{x^{4}+4}{x^{2}}\bigr)\Bigr)
é contínua. O conteúdo envolve identificar o domínio de definição, usar que funções elementares (razão de polinômios, logaritmo e cosseno) são contínuas em seus domínios, e aplicar a regra da continuidade de composições.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o argumento do logaritmo seja positivo:
\frac{x^{4}+4}{x^{2}}>0.
Como x^{4}+4>0 para todo x\in\mathbb R e x^{2}>0 para x\neq0, a razão é estritamente positiva sempre que x\neq0. Logo
\text{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{0\}=\;(-\infty,0)\cup(0,\infty).

Passo 3

A função
g(x)=\ln\!\Bigl(\tfrac{x^{4}+4}{x^{2}}\Bigr)
é contínua em todo o seu domínio (-\infty,0)\cup(0,\infty), pois o logaritmo é contínuo em (0,\infty) e a razão \tfrac{x^{4}+4}{x^{2}} é contínua em x\neq0.

Passo 4

O cosseno é contínuo em \mathbb R. Como f(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr) e g é contínua em (-\infty,0)\cup(0,\infty), a composição f também é contínua nesse mesmo conjunto.

Resposta

A função f é contínua em todo ponto do domínio
(-\infty,0)\cup(0,\infty).

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