Determine a posição relativa das retas:
r:(x, y, z)=(1,-2,3)+t(2,1,-4) \text { e } s:(x, y, z)=(0,3,5)+k(1,-1,2)
São coincidentes, paralelas ou reversas?

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 em forma paramétrica:
r: (x,y,z) = (1,-2,3) + t\,(2,1,-4),
s: (x,y,z) = (0,3,5) + k\,(1,-1,2),
e pede para dizer se elas são coincidentes, paralelas ou reversas (isto é, não coplanares e sem interseção). Para isso vamos usar dois testes: (1) checar se os vetores diretores são colineares, e em caso negativo (2) tentar resolver o sistema para ver se existe algum ponto em comum.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores
\mathbf{v}_r = (2,1,-4) e \mathbf{v}_s = (1,-1,2). Se fossem paralelos, deveríamos ter
(2,1,-4) = \lambda\,(1,-1,2)
para algum \lambda. Da primeira componente vem \lambda=2, mas então a segunda exigiria 1=-2, o que é falso. Logo não são paralelos.

Passo 3

Como não são paralelos, resta checar interseção. Igualamos as coordenadas de r e s:
1 + 2t = k, \quad -2 + t = 3 - k, \quad 3 - 4t = 5 + 2k.
Das duas primeiras equações obtemos t=\tfrac{4}{3} e k=\tfrac{11}{3}. Substituindo na terceira:
3 - 4\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) = -\tfrac{7}{3}, \quad 5 + 2\bigl(\tfrac{11}{3}\bigr) = \tfrac{37}{3},
e -\tfrac{7}{3} \neq \tfrac{37}{3}. Não há solução comum, logo elas não se cruzam.

Resposta

As retas são reversas.

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