Determine se as retas r:(x, y, z)=(1,2,3)+t(2,-1,4) e s:(x, y, z)=(3,-1,5)+k(4,-2,8) são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá as retas
r: (x,y,z)=(1,2,3)+t\,(2,-1,4) \quad\text{e}\quad s: (x,y,z)=(3,-1,5)+k\,(4,-2,8)
e pede para verificar se elas são coplanares.
Conteúdo: em \mathbb{R}^3, duas retas são coplanares se e somente se elas se interceptam ou são paralelas. Para isso, vamos (1) comparar os vetores diretores para ver se são múltiplos e, em seguida, (2) checar se há coincidência de ponto (para ver se são a mesma reta) ou não.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores
\mathbf{d}_r=(2,-1,4), \quad \mathbf{d}_s=(4,-2,8).
Note que
\mathbf{d}_s = 2\,(2,-1,4) = 2\,\mathbf{d}_r,
logo os vetores são paralelos e as retas r e s são paralelas.

Passo 3

Para saber se as retas coincidem ou são paralelas distintas, calculamos o vetor que vai de um ponto de r a um ponto de s:
\overrightarrow{P_rP_s} =(3-1,\,-1-2,\,5-3)=(2,-3,2).
Verificamos se (2,-3,2) é múltiplo de (2,-1,4). Se fosse, teríamos
(2,-3,2)=\mu\,(2,-1,4)
para algum \mu. Da primeira componente vem \mu=1, mas a segunda componente daria -3=-1, absurdo. Logo não há coincidência de reta e elas são paralelas distintas.

Passo 4

Do conteúdo da teoria, duas retas paralelas (mesmo sem se interceptar) em \mathbb{R}^3 definem um plano: basta o vetor diretor e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra para gerar esse plano. Portanto, retas paralelas são sempre coplanares.

Resposta

Sim, as retas r e s são coplanares.

Exercícios relacionados