Determine os possíveis valores das incógnitas, caso seja possível, nas sequências abaixo para que seja uma Progressão Aritmética:
(a)
(x, 2 x+1,4 x+2, \cdots)
(b)
(x-1, x+7,2 x-3, ···)
(c)
\left(m, m^{2}, m^{3}, ···\right)
(d)
\left(j, \frac{j}{2}, \frac{j}{3}, \cdots\right)

Passo 1

O enunciado pede os valores de x, m e j de modo que cada sequência seja uma progressão aritmética, isto é, que a diferença entre termos consecutivos seja constante. Para três termos quaisquer a, b, c, a condição é
b - a = c - b.

Passo 2

Aplicando em (a), temos
a_1 = x,\quad a_2 = 2x+1,\quad a_3 = 4x+2.
A condição de PA é
a_2 - a_1 = a_3 - a_2
(2x+1 - x) = \bigl(4x+2 - (2x+1)\bigr) \;\implies\; x+1 = 2x+1 \;\implies\; x = 0.

Passo 3

Em (b), os três primeiros termos são
a_1 = x-1,\quad a_2 = x+7,\quad a_3 = 2x-3.
Igualando as diferenças:
(x+7 - (x-1)) = \bigl(2x-3 - (x+7)\bigr) \;\implies\; 8 = x - 10 \;\implies\; x = 18.

Passo 4

Em (c), os termos são
a_1 = m,\quad a_2 = m^2,\quad a_3 = m^3.
A condição
m^2 - m = m^3 - m^2 \;\implies\; m^2 - m = m^3 - m^2 \;\implies\; m^3 - 2m^2 + m = 0 \;\implies\; m\,(m-1)^2 = 0
Logo
m = 0 \quad\text{ou}\quad m = 1.

Passo 5

Em (d), os termos são
a_1 = j,\quad a_2 = \tfrac{j}{2},\quad a_3 = \tfrac{j}{3}.
Condição de PA:
\tfrac{j}{2} - j = \tfrac{j}{3} - \tfrac{j}{2} \;\implies\; -\tfrac{j}{2} = -\tfrac{j}{6} \;\implies\; -3j = -j \;\implies\; j = 0.

Resposta

(a) x = 0
(b) x = 18
(c) m = 0 ou m = 1
(d) j = 0

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