Determine, se possível, o valor de x para que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 x & 1 \\\ x^{2} & 0 & -x \\\ x+1 & x^{3} & 0\end{array}\right] seja:
simétrica

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de x que tornam a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2x & 1 \\[6pt] x^2 & 0 & -x \\[6pt] x+1 & x^3 & 0 \end{pmatrix}
simétrica. O conteúdo aqui é matriz simétrica, ou seja, devemos usar a condição
A = A^T
e, em particular, igualar cada entrada a_{ij} com a_{ji} para i\neq j.]

Passo 2

Da condição de simetria obtemos três equações fora da diagonal principal:
\begin{cases} a_{12}=a_{21}:&2x = x^2,\\[4pt] a_{13}=a_{31}:&1 = x+1,\\[4pt] a_{23}=a_{32}:&-\,x = x^3. \end{cases}]

Passo 3

A equação mais simples é
1 = x + 1,
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x = 0.

Passo 4

Substituindo x=0 nas outras duas equações:
2\cdot 0 = 0^2 \quad\text{e}\quad -\,0 = 0^3
ambas são satisfeitas, portanto não surgem soluções adicionais.

Resposta

O único valor de x que faz A simétrica é
x = 0.

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