Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
C=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 6 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix}
é invertível usando operações elementares sobre linhas e, em caso afirmativo, obter sua inversa. Vamos usar o método de Gauss–Jordan formando a matriz aumentada \bigl[C\mid I\bigr].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 3 & 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos o elemento da coluna 1 na terceira linha, fazendo R_{3}\leftarrow R_{3}-2\,R_{1}:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 6 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & -5 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos o pivô da segunda linha para zerar as colunas acima e abaixo:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-2\,R_{2}
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 5 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Na forma obtida, a terceira linha tem todos os coeficientes da parte esquerda iguais a zero, mas a parte direita não é a linha nula. Isso mostra que a matriz C tem posto 2 (< 3) e, portanto, não é invertível (determinante zero).

Resposta

A matriz C não é inversível.

Exercícios relacionados