determinar o posto da matriz (isto é, quantas colunas linearmente independentes ela tem);
determinar a nulidade (a dimensão do núcleo, ou seja, quantas variáveis livres aparecem na solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0}).
Passo 2
Breve explicação dos conceitos e do método que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
O posto de A é o número de pivôs que aparecem quando fazemos eliminação por linhas (Gauss) até chegar numa forma em que seja fácil contar linhas/colunas independentes. Pivô significa uma entrada não nula que usamos para eliminar abaixo (e depois acima) naquela coluna.
A nulidade de A é dada pelo teorema posto-nulidade: para uma matriz m\times n,
\text{nulidade} = n - \text{posto}.
Aqui n=4 (número de colunas).
Método escolhido: aplicar operações elementares por linhas para chegar à forma escalonada reduzida (RREF) e daí ler os pivôs. Vou mostrar cada operação e explicar as contas.
Passo 3
Começo com R_1,R_2,R_3 sendo as linhas de A. Primeiro eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô (posição (1,1) que vale 3):
Aplicamos