Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 5 & 4 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 5 & 4 & 2 & 5 \end{array}\right]
e pede duas coisas:
  1. determinar o posto da matriz (isto é, quantas colunas linearmente independentes ela tem);
  2. determinar a nulidade (a dimensão do núcleo, ou seja, quantas variáveis livres aparecem na solução de A\mathbf{x}=\mathbf{0}).

Passo 2

Breve explicação dos conceitos e do método que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
  • O posto de A é o número de pivôs que aparecem quando fazemos eliminação por linhas (Gauss) até chegar numa forma em que seja fácil contar linhas/colunas independentes. Pivô significa uma entrada não nula que usamos para eliminar abaixo (e depois acima) naquela coluna.
  • A nulidade de A é dada pelo teorema posto-nulidade: para uma matriz m\times n,
\text{nulidade} = n - \text{posto}.
Aqui n=4 (número de colunas).
Método escolhido: aplicar operações elementares por linhas para chegar à forma escalonada reduzida (RREF) e daí ler os pivôs. Vou mostrar cada operação e explicar as contas.

Passo 3

Começo com R_1,R_2,R_3 sendo as linhas de A. Primeiro eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô (posição (1,1) que vale 3):
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{5}{3}R_1.
Calculemos as novas linhas explicitamente:
  • Para R_2:
R_2 = [2,-1,4,1] - \tfrac{2}{3}[3,5,1,4] = \bigl[0,\,-1-\tfrac{10}{3},\,4-\tfrac{2}{3},\,1-\tfrac{8}{3}\bigr] = \bigl[0,\,-\tfrac{13}{3},\,\tfrac{10}{3},\,-\tfrac{5}{3}\bigr].
  • Para R_3:
R_3 = [5,4,2,5] - \tfrac{5}{3}[3,5,1,4] = \bigl[0,\,4-\tfrac{25}{3},\,2-\tfrac{5}{3},\,5-\tfrac{20}{3}\bigr] = \bigl[0,\,-\tfrac{13}{3},\,\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{5}{3}\bigr].
Então a matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -\tfrac{13}{3} & \tfrac{10}{3} & -\tfrac{5}{3} \\\\ 0 & -\tfrac{13}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{3} \end{array}\right].

Passo 4

Agora eliminamos a terceira linha aproveitando que as duas linhas têm o mesmo segundo elemento. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Isso dá
R_2 = \bigl[0,0,\tfrac{10}{3}-\tfrac{1}{3},\, -\tfrac{5}{3}-(-\tfrac{5}{3})\bigr] = [0,0,3,0].
Portanto as linhas são agora
R_1=[3,5,1,4],\quad R_2=[0,0,3,0],\quad R_3=\bigl[0,-\tfrac{13}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{5}{3}\bigr].
Para organizar os pivôs por coluna, troco R_2 e R_3:
R_2 \longleftrightarrow R_3,
ficando
R_1=[3,5,1,4],\quad R_2=\bigl[0,-\tfrac{13}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{5}{3}\bigr],\quad R_3=[0,0,3,0].

Passo 5

Normalizo o pivô na segunda linha: multiplico R_2 por -\tfrac{3}{13} para tornar a entrada (2,2) igual a 1:
R_2 \leftarrow -\tfrac{3}{13}R_2 = \bigl[0,1,-\tfrac{1}{13},\tfrac{5}{13}\bigr].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{13} & \tfrac{5}{13} \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Elimino a coluna 2 acima do pivô (zerar o 5 em posição (1,2)):
R_1 \leftarrow R_1 - 5R_2.
Calcule:
5R_2 = [0,5,-\tfrac{5}{13},\tfrac{25}{13}],
R_1 - 5R_2 = [3,0,\,1-(-\tfrac{5}{13}),\,4-\tfrac{25}{13}] = \bigl[3,0,\tfrac{18}{13},\tfrac{27}{13}\bigr].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 0 & \tfrac{18}{13} & \tfrac{27}{13} \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{13} & \tfrac{5}{13} \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Normalizo o pivô da terceira linha (coluna 3): divido R_3 por 3,
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_3 = [0,0,1,0].
Em seguida elimino a entrada na coluna 3 das linhas acima:
  • Para R_1: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{18}{13}R_3. Como R_3 tem zero na última coluna, isso zera o terceiro elemento de R_1 sem alterar a quarta. Assim
R_1 = [3,0,0,\tfrac{27}{13}].
  • Para R_2: R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{13}R_3 para zerar -\tfrac{1}{13} na posição (2,3), obtendo
R_2 = [0,1,0,\tfrac{5}{13}].

Passo 8

Por fim, deixo o pivô da primeira linha igual a 1 dividindo R_1 por 3:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_1 = \bigl[1,0,0,\tfrac{9}{13}\bigr].
A matriz está agora na forma reduzida:
\text{RREF}(A)=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & \tfrac{9}{13} \\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{13} \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 9

Lendo a forma reduzida:
  • Há pivôs nas colunas 1,2,3. Logo o número de pivôs (posto) é 3.
  • Como a matriz tem 4 colunas, a nulidade é
\text{nulidade} = 4 - \text{posto} = 4 - 3 = 1.
Se quiser, a solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{0} (útil para entender a nulidade) é obtida da RREF: com x_4 livre (chame de t),
x_1 = -\tfrac{9}{13}t,\quad x_2 = -\tfrac{5}{13}t,\quad x_3=0,\quad x_4=t.
Escolhendo t=13 obtemos um vetor inteiro da base do núcleo: \mathbf{v}=(-9,-5,0,13). Isso confirma que o núcleo é de dimensão 1.

Resposta

\text{posto}=3
\text{nulidade}=1

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