Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes.
\left[\begin{array}{rrrr}3 & 5 & 1 & 4 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ 8 & 9 & 3 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar o posto e a nulidade da matriz A dada. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 4 & 1\\[4pt] 8 & 9 & 3 & 9 \end{pmatrix}.
As perguntas explícitas são:
  • Qual é o posto (número de colunas/linhas linearmente independentes) de A?
  • Qual é a nulidade (dimensão do núcleo, ou espaço solução de A x=0) de A?]

Passo 2

Breve explicação das ferramentas que usarei (sem pular etapas):
  • O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Na prática, encontramos o posto reduzindo a matriz por operações elementares de linha até obter pivôs (linhas com primeiro elemento não nulo depois das anteriores terem sido anuladas). O número de pivôs = posto.
  • Operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra) não mudam o posto.
  • A nulidade (dimensão do núcleo) satisfaz o Teorema do Posto-Nulidade: para uma matriz m\times n,
\text{nulidade}(A)=n-\text{posto}(A).
Aqui n=4 (número de colunas). Vou fazer eliminação (Gauss) passo a passo, mostrando as operações e as matrizes resultantes; depois contarei pivôs e calcularei a nulidade. Também vou obter uma base do núcleo para ilustrar a nulidade.

Passo 3

Começo a eliminação por linhas. Denoto as linhas por R_1,R_2,R_3. Aplicando operações que evitam frações iniciais:
  1. R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Isso anula parcialmente a primeira entrada de R_3.
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 4 & 1\\[4pt] 8 & 9 & 3 & 9 \end{pmatrix} \overset{R_3-2R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 4 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Agora R_2 e R_3 têm a mesma primeira entrada 2; faço R_2 \leftarrow R_2 - R_3 para obter uma linha com zeros na primeira e segunda colunas:
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 4 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_2-R_3}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Para eliminar a primeira entrada de R_3 sem frações, faço R_3 \leftarrow 3R_3 - 2R_1 (combinação linear que dá um zero na primeira posição):
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \overset{3R_3-2R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -13 & 1 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Reorganizo as linhas para ter pivôs em ordem decrescente de coluna (troco R_2 e R_3):
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 0 & -13 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Agora é claro que existem três linhas com pelo menos um elemento não nulo cada uma em posições de pivô distintas: primeira coluna ( 3), segunda coluna ( -13), terceira coluna ( 3). Portanto já podemos concluir que o número de pivôs é 3, logo \text{posto}(A)=3. (Observação: como a matriz tem apenas 3 linhas, o posto não pode exceder 3.)]

Passo 5

Para ficar explícito o RREF parcial e conseguir a base do núcleo, continuo a redução até forma escalonada reduzida (mostro os passos aritméticos):
  1. Divido a terceira linha por 3:
R_3\leftarrow \tfrac{1}{3}R_3\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 4\\[4pt] 0 & -13 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Anulo as entradas acima do pivô da terceira coluna: R_1\leftarrow R_1 - R_3 e R_2\leftarrow R_2 - R_3:
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 & 4\\[4pt] 0 & -13 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Divido a segunda linha por -13:
R_2\leftarrow -\tfrac{1}{13}R_2\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{5}{13}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Anulo a entrada 5 em R_1 usando R_2: R_1\leftarrow R_1 - 5R_2:
\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 4-\displaystyle\frac{25}{13}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \displaystyle\frac{5}{13}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & \displaystyle\frac{27}{13}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \displaystyle\frac{5}{13}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
  1. Por fim divido R_1 por 3:
R_1\leftarrow \tfrac{1}{3}R_1\quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \displaystyle\frac{9}{13}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \displaystyle\frac{5}{13}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpreto a forma reduzida para o sistema homogêneo A x=0\). Denotando \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\), as equações vêm das linhas: \[\begin{cases} x_1 + \dfrac{9}{13}x_4 = 0,\\[6pt] x_2 + \dfrac{5}{13}x_4 = 0,\\[6pt] x_3 = 0. \end{cases}
Escolhendo x_4=t\] livre, obtemos \[x_1 = -\dfrac{9}{13}t,\qquad x_2 = -\dfrac{5}{13}t,\qquad x_3=0,\qquad x_4=t.\] Portanto o núcleo é unidimensional (uma direção), gerado por \[\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{13}\\[4pt]-\dfrac{5}{13}\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.\] Multiplicando por \(13 para evitar frações, uma base conveniente do núcleo é
\begin{pmatrix}-9\\[4pt]-5\\[4pt]0\\[4pt]13\end{pmatrix}.
Isso confirma que a nulidade é 1.]

Resposta

\text{posto}(A)=3
\text{nulidade}(A)=1

Exercícios relacionados