Qual é o posto (número de colunas/linhas linearmente independentes) de A?
Qual é a nulidade (dimensão do núcleo, ou espaço solução de A x=0) de A?]
Passo 2
Breve explicação das ferramentas que usarei (sem pular etapas):
O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Na prática, encontramos o posto reduzindo a matriz por operações elementares de linha até obter pivôs (linhas com primeiro elemento não nulo depois das anteriores terem sido anuladas). O número de pivôs = posto.
Operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra) não mudam o posto.
A nulidade (dimensão do núcleo) satisfaz o Teorema do Posto-Nulidade: para uma matriz m\times n,
\text{nulidade}(A)=n-\text{posto}(A).
Aqui n=4 (número de colunas). Vou fazer eliminação (Gauss) passo a passo, mostrando as operações e as matrizes resultantes; depois contarei pivôs e calcularei a nulidade. Também vou obter uma base do núcleo para ilustrar a nulidade.
Passo 3
Começo a eliminação por linhas. Denoto as linhas por R_1,R_2,R_3. Aplicando operações que evitam frações iniciais:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Isso anula parcialmente a primeira entrada de R_3.
Agora é claro que existem três linhas com pelo menos um elemento não nulo cada uma em posições de pivô distintas: primeira coluna (3), segunda coluna (-13), terceira coluna (3). Portanto já podemos concluir que o número de pivôs é 3, logo \text{posto}(A)=3. (Observação: como a matriz tem apenas 3 linhas, o posto não pode exceder 3.)]
Passo 5
Para ficar explícito o RREF parcial e conseguir a base do núcleo, continuo a redução até forma escalonada reduzida (mostro os passos aritméticos):
Interpreto a forma reduzida para o sistema homogêneo A x=0\). Denotando \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\), as equações vêm das linhas:
\[\begin{cases} x_1 + \dfrac{9}{13}x_4 = 0,\\[6pt] x_2 + \dfrac{5}{13}x_4 = 0,\\[6pt] x_3 = 0. \end{cases}
Escolhendo x_4=t\] livre, obtemos
\[x_1 = -\dfrac{9}{13}t,\qquad x_2 = -\dfrac{5}{13}t,\qquad x_3=0,\qquad x_4=t.\]
Portanto o núcleo é unidimensional (uma direção), gerado por
\[\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{13}\\[4pt]-\dfrac{5}{13}\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.\]
Multiplicando por \(13 para evitar frações, uma base conveniente do núcleo é