Determine
em cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
da função dada. A função é
Informações relevantes que eu retiro do enunciado:
- A expressão no numerador pode ser reescrita como uma potência:
. - O denominador é
. - O que se pede é a derivada
em função de .
Passo 2
Reescrevo a função de forma mais conveniente para derivar, usando expoentes racionais:
Aqui transformei a divisão em um produto com potência negativa, o que facilita visualizar o uso da regra do produto e da regra da cadeia. Vou optar por uma técnica que simplifica muito contas com potências multiplicativas: a diferenciação logarítmica (aplicar
e derivar implicitamente). Isso evita derivar diretamente um produto de duas funções com potências complicadas e reduz erros algébricos.
Passo 3
Faço diferenciação logarítmica: tomo o logarítmo natural dos dois lados (usando
para ser rigoroso quando
eventualmente for negativo):
Uso as propriedades do logaritmo (
e
) para simplificar:
Observação:
não precisa de valor absoluto porque
para todo
.
Passo 4
Derivo ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia: derivada de
é
). Então:
Agora aplico a regra da cadeia em cada termo do lado direito:
- Para
: a derivada é , pois a derivada de é . - Para
: a derivada é , pois a derivada de é .
Substituindo:
Simplifico os coeficientes:
Passo 5
Agora isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Lembro que
é a função original, então substituo-a de volta:
Essa já é uma forma correta e bastante clara para a derivada, obtida com poucos passos e pouco risco de erro.
Passo 6
Posso, se desejar, simplificar um pouco os fatores para ver uma forma alternativa. Por exemplo, dividir o primeiro termo interno por
reduz o expoente:
E multiplicar o segundo termo por
aumenta a potência no denominador de
para
. Assim outra forma equivalente é
Ou ainda, combinando em um único quociente (um pouco mais trabalhado):
que é algebraicamente equivalente às formas anteriores. Mas a forma obtida no Passo 5 é suficiente e mais direta para a prova.