Determine y^{\prime} em cada função abaixo:
y=\frac{\sqrt[7]{(2 x-3)^{3}}}{\left(x^{2}+4\right)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar y' da função dada. A função é
y=\frac{\sqrt[7]{(2 x-3)^{3}}}{\left(x^{2}+4\right)^{5}}.
Informações relevantes que eu retiro do enunciado:
  • A expressão no numerador pode ser reescrita como uma potência: \sqrt[7]{(2x-3)^3}=(2x-3)^{3/7}.
  • O denominador é (x^2+4)^5.
  • O que se pede é a derivada y' em função de x.

Passo 2

Reescrevo a função de forma mais conveniente para derivar, usando expoentes racionais:
y=(2x-3)^{3/7}\,(x^2+4)^{-5}.
Aqui transformei a divisão em um produto com potência negativa, o que facilita visualizar o uso da regra do produto e da regra da cadeia. Vou optar por uma técnica que simplifica muito contas com potências multiplicativas: a diferenciação logarítmica (aplicar \ln e derivar implicitamente). Isso evita derivar diretamente um produto de duas funções com potências complicadas e reduz erros algébricos.

Passo 3

Faço diferenciação logarítmica: tomo o logarítmo natural dos dois lados (usando \ln|y| para ser rigoroso quando y eventualmente for negativo):
\ln|y|=\ln\big((2x-3)^{3/7}\big)+\ln\big((x^2+4)^{-5}\big).
Uso as propriedades do logaritmo ( \ln(a^b)=b\ln a e \ln(a\cdot b)=\ln a+\ln b) para simplificar:
\ln|y|=\frac{3}{7}\ln|2x-3|-5\ln(x^2+4).
Observação: \ln(x^2+4) não precisa de valor absoluto porque x^2+4>0 para todo x.

Passo 4

Derivo ambos os lados em relação a x. Lembrando que a derivada de \ln|y| em relação a x é \dfrac{y'}{y} (regra da cadeia: derivada de \ln|u| é u' / u). Então:
\frac{y'}{y} = \frac{3}{7}\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln|2x-3|\big) - 5\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(x^2+4)\big).
Agora aplico a regra da cadeia em cada termo do lado direito:
  • Para \ln|2x-3|: a derivada é \dfrac{1}{2x-3}\cdot(2), pois a derivada de 2x-3 é 2.
  • Para \ln(x^2+4): a derivada é \dfrac{1}{x^2+4}\cdot(2x), pois a derivada de x^2+4 é 2x.
Substituindo:
\frac{y'}{y} = \frac{3}{7}\cdot\frac{2}{2x-3} - 5\cdot\frac{2x}{x^2+4}.
Simplifico os coeficientes:
\frac{y'}{y} = \frac{6}{7(2x-3)} - \frac{10x}{x^2+4}.

Passo 5

Agora isolo y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\left(\frac{6}{7(2x-3)} - \frac{10x}{x^2+4}\right).
Lembro que y é a função original, então substituo-a de volta:
y' = \frac{(2x-3)^{3/7}}{(x^2+4)^5}\left(\frac{6}{7(2x-3)} - \frac{10x}{x^2+4}\right).
Essa já é uma forma correta e bastante clara para a derivada, obtida com poucos passos e pouco risco de erro.

Passo 6

Posso, se desejar, simplificar um pouco os fatores para ver uma forma alternativa. Por exemplo, dividir o primeiro termo interno por 2x-3 reduz o expoente:
\frac{(2x-3)^{3/7}}{2x-3}=(2x-3)^{3/7-1}=(2x-3)^{-4/7}.
E multiplicar o segundo termo por 1/(x^2+4) aumenta a potência no denominador de 5 para 6. Assim outra forma equivalente é
y'=\frac{6}{7}\,\frac{(2x-3)^{-4/7}}{(x^2+4)^5}-\frac{10x\,(2x-3)^{3/7}}{(x^2+4)^6}.
Ou ainda, combinando em um único quociente (um pouco mais trabalhado):
y'=\frac{(2x-3)^{-4/7}}{7(x^2+4)^6}\big(6(x^2+4)-70x(2x-3)\big),
que é algebraicamente equivalente às formas anteriores. Mas a forma obtida no Passo 5 é suficiente e mais direta para a prova.

Resposta

y'=\frac{(2x-3)^{3/7}}{(x^2+4)^5}\left(\frac{6}{7(2x-3)}-\frac{10x}{x^2+4}\right).

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