Considere a equação
e seja
uma função em
, definida implicitamente por esta equação. Suponha ainda que
seja derivável.
a) Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto cuja ordenada é nula.
b) Estude a reta tangente à curva
que passa por um ponto cuja ordenada é nula, e que não pertence à curva.
a) Encontre a equação da reta tangente à curva
b) Estude a reta tangente à curva
Passo 1
Entender o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a curva definida implicitamente pela equação
onde
é função derivável de
(ou seja,
e
existe).
Perguntas:
- (a) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto cuja ordenada é nula (ou seja, no ponto em que
). - (b) Estudar as retas tangentes à curva que passam por um ponto de ordenada nula (pontos do tipo
), mas que NÃO pertencem à curva (ou seja, com tal que não satisfaz a equação da curva). Em particular, caracterizar essas tangentes (quando existem e como encontrá-las).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A relação entre
e é dada pela equação acima; quaisquer pontos de tangência devem satisfazer essa equação. - Podemos diferenciar implicitamente para obter
em termos de e . - Um ponto cuja ordenada é nula significa
. Se pertence à curva, substituindo obtemos a(s) abscissa(s) correspondente(s). - Para (b) teremos que relacionar a condição "reta tangente passa por
" com as fórmulas da curva e da derivada.
Passo 2
Derivação implícita da equação (fórmula geral para a inclinação da tangente).
Vamos diferenciar a equação
em ambos os lados em relação a
. Aqui uso regra da cadeia e produto: a derivada de
em relação a
é
(porque
). A derivada de
é
(produto:
). A derivada de
é
. O lado direito
tem derivada
.
Portanto:
Juntando os termos com
:
Isolando
:
Essa é a fórmula da inclinação da tangente em qualquer ponto
da curva (quando o denominador não é zero). Vou usar essa fórmula para os cálculos seguintes.
Passo 3
Resolver a parte (a): encontrar o ponto da curva com ordenada nula e a reta tangente nesse ponto.
Primeiro achar o(s) ponto(s) da curva com
. Substituo
na equação dada:
Logo o ponto da curva com ordenada nula é
.
Agora calcular a inclinação da tangente nesse ponto usando a fórmula de
do Passo 2. Em
temos:
A equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é
com
e
. Assim:
Se preferir em forma explícita:
Passo 4
Iniciar o estudo da parte (b): condição de que a reta tangente em
passe por um ponto
com
NÃO pertencente à curva.
Se a reta tangente no ponto
passa por
, então a inclinação da reta medida entre
e
deve ser igual à inclinação da tangente
em
.
A inclinação entre
e
é
A inclinação da tangente em
é, pela fórmula do Passo 2,
Igualando as duas expressões:
Multiplicando em cruz (e assumindo momentaneamente
e
tais que a operação faz sentido), obtemos:
Despejando
:
Essa fórmula diz: o ponto onde a tangente corta o eixo
(isto é, o
tal que a tangente passa por
) depende do ponto de tangência
.
Passo 5
Eliminar
usando a equação da curva para obter uma expressão em função só de
(isso facilita estudar todos os possíveis interceptos
obtidos por tangentes).
Da equação da curva em
temos (isolando
, lembrando que
porque, se
, a equação seria
↦
que é impossível):
Substituo essa expressão para
na fórmula de
do Passo 4. Após simplificar (faça com calma: colocar tudo sobre
e combinar termos), obtém-se
Isto significa: para cada ponto de tangência com ordenada
(qualquer
, exceto
que não ocorre na curva), a tangente corta o eixo
no ponto
.
Passo 6
Analisar a função
para entender quais pontos
da abscissa
podem ser alcançados por retas tangentes da curva.
Propriedades importantes (intuição e limites):
- A função
é contínua onde é definida (toda exceto possivelmente , mas não é ordenada de ponto da curva). - Comportamentos limites:
- Quando
(valor proibido pela expressão de ), o denominador enquanto o numerador tende a um valor finito não nulo (calcule em : ), então quando pelos dois lados (há assim uma “barra” para perto de ). - Quando
, o termo dominante do numerador é e o denominador é , logo . - Quando
, o termo exponencial vai para e o numerador comporta-se como , o denominador como , então (pela esquerda), ou seja .
- Quando
Conclusão qualitativa:
- No intervalo
a função é contínua, com limite quando e quando . Pelas propriedades de funções contínuas, a imagem de por é todo . Assim, para qualquer abscissa existe pelo menos um tal que . - No intervalo
tem-se comportamento limite e , portanto a imagem em é . Somando as duas partes, a imagem global de quando percorre todos os valores de ordenadas possíveis na curva é todo . - Observação importante: o único ponto do eixo
que pertence à curva é (caso ), portanto o caso em que a reta tangente passa por com já pertencente à curva é o caso da Parte (a) (que já tratámos). Para , a tangente que passa por corresponde a um ponto de tangência com .
Além disso, verificar se há tangentes verticais: isso ocorreria se
em algum ponto da curva (denominador da fórmula de
nulo). Substituindo
pela expressão em
resulta numa equação do tipo
, que não tem solução real porque o lado esquerdo está limitado (o produto não pode atingir
). Portanto NÃO há tangentes verticais, a fórmula de
é válida para todo ponto de tangência da curva.
Passo 7
Interpretação final do item (b) e procedimento prático para obter a reta tangente que passa por um ponto
não pertencente à curva.
- Para obter concretamente a(s) reta(s) tangente(s) que passam por um ponto
dado ( ou mesmo , caso queira recuperar (a)): - Procure
real (com ) tal que
- Para cada solução
obtenha pela fórmula
- A reta tangente procurada tem equação
com - Procure
- Pelo estudo de limites e continuidade acima, para todo
existe pelo menos um que satisfaz a relação — portanto existe pelo menos uma reta tangente que corta o eixo em . Se a reta tangente obtida é a do Passo 3 (ponto de tangência ). Se a(s) reta(s) tangente(s) que passam por correspondem a solução(ões) com .
Resposta
(a)
(b) Para um ponto de abscissa
do eixo
ser intercepto de uma tangente, existe
tal que
Dado tal
, o ponto de tangência tem abscissa
a inclinação é
e a reta tangente é
Além disso, para todo
existe pelo menos um
que produz tal reta; o caso
corresponde ao ponto de tangência
(item (a)), enquanto para
os pontos
não pertencem à curva e ainda assim existe pelo menos uma reta tangente da curva que passa por
.