Considere a equação e^{2 y}+x y+x=3 e seja y uma função em x, definida implicitamente por esta equação. Suponha ainda que y seja derivável.
a) Encontre a equação da reta tangente à curva e^{2 y}+x y+x=3 no ponto cuja ordenada é nula.
b) Estude a reta tangente à curva e^{2 y}+x y+x=3 que passa por um ponto cuja ordenada é nula, e que não pertence à curva.

Passo 1

Entender o que o enunciado dá e o que pede.
Dado: a curva definida implicitamente pela equação
e^{2y}+x y+x=3,
onde y é função derivável de x (ou seja, y=y(x) e y' existe).
Perguntas:
  1. (a) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto cuja ordenada é nula (ou seja, no ponto em que y=0).
  2. (b) Estudar as retas tangentes à curva que passam por um ponto de ordenada nula (pontos do tipo (a,0)), mas que NÃO pertencem à curva (ou seja, (a,0) com a tal que não satisfaz a equação da curva). Em particular, caracterizar essas tangentes (quando existem e como encontrá-las).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A relação entre x e y é dada pela equação acima; quaisquer pontos de tangência (x_1,y_1) devem satisfazer essa equação.
  • Podemos diferenciar implicitamente para obter y'(x) em termos de x e y.
  • Um ponto cuja ordenada é nula significa y=0. Se (x,0) pertence à curva, substituindo y=0 obtemos a(s) abscissa(s) correspondente(s).
  • Para (b) teremos que relacionar a condição "reta tangente passa por (a,0)" com as fórmulas da curva e da derivada.

Passo 2

Derivação implícita da equação (fórmula geral para a inclinação da tangente).
Vamos diferenciar a equação
e^{2y}+x y+x=3
em ambos os lados em relação a x. Aqui uso regra da cadeia e produto: a derivada de e^{2y} em relação a x é 2 e^{2y}\,y' (porque d/dx(e^{2y}) = e^{2y}\cdot d(2y)/dx = e^{2y}\cdot 2y'). A derivada de x y é y + x y' (produto: d(x)/dx\cdot y + x\cdot d(y)/dx = 1\cdot y + x y'). A derivada de x é 1. O lado direito 3 tem derivada 0.
Portanto:
2 e^{2y}\,y' + y + x y' + 1 = 0.
Juntando os termos com y':
y'\,(2 e^{2y} + x) + (y+1) = 0.
Isolando y':
\boxed{\,y' = -\dfrac{y+1}{2 e^{2y} + x}\,}
Essa é a fórmula da inclinação da tangente em qualquer ponto (x,y) da curva (quando o denominador não é zero). Vou usar essa fórmula para os cálculos seguintes.

Passo 3

Resolver a parte (a): encontrar o ponto da curva com ordenada nula e a reta tangente nesse ponto.
Primeiro achar o(s) ponto(s) da curva com y=0. Substituo y=0 na equação dada:
e^{2\cdot 0} + x\cdot 0 + x = 3 \quad\Rightarrow\quad 1 + x = 3 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Logo o ponto da curva com ordenada nula é (2,0).
Agora calcular a inclinação da tangente nesse ponto usando a fórmula de y' do Passo 2. Em (x,y)=(2,0) temos:
y' = -\dfrac{0+1}{2 e^{2\cdot 0} + 2} = -\dfrac{1}{2\cdot 1 + 2} = -\dfrac{1}{4}.
A equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é
y - y_0 = m (x - x_0),
com m=-\tfrac14 e (x_0,y_0)=(2,0). Assim:
y = -\tfrac{1}{4}(x-2).
Se preferir em forma explícita:
\boxed{\,y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{1}{2}\,}

Passo 4

Iniciar o estudo da parte (b): condição de que a reta tangente em (x_1,y_1) passe por um ponto (a,0) com (a,0) NÃO pertencente à curva.
Se a reta tangente no ponto (x_1,y_1) passa por (a,0), então a inclinação da reta medida entre (x_1,y_1) e (a,0) deve ser igual à inclinação da tangente y' em (x_1,y_1).
A inclinação entre (x_1,y_1) e (a,0) é
\frac{y_1-0}{x_1-a} = \frac{y_1}{x_1-a}.
A inclinação da tangente em (x_1,y_1) é, pela fórmula do Passo 2,
-\dfrac{y_1+1}{2 e^{2y_1} + x_1}.
Igualando as duas expressões:
\frac{y_1}{x_1-a} = -\dfrac{y_1+1}{2 e^{2y_1} + x_1}.
Multiplicando em cruz (e assumindo momentaneamente y_1 e x_1-a tais que a operação faz sentido), obtemos:
y_1(2 e^{2y_1} + x_1) = -(y_1+1)(x_1-a).
Despejando a:
x_1-a = -\frac{y_1(2 e^{2y_1} + x_1)}{y_1+1} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,a = x_1 + \dfrac{y_1(2 e^{2y_1} + x_1)}{y_1+1}\,}
Essa fórmula diz: o ponto onde a tangente corta o eixo x (isto é, o a tal que a tangente passa por (a,0)) depende do ponto de tangência (x_1,y_1).

Passo 5

Eliminar x_1 usando a equação da curva para obter uma expressão em função só de y_1 (isso facilita estudar todos os possíveis interceptos a obtidos por tangentes).
Da equação da curva em (x_1,y_1) temos (isolando x_1, lembrando que y_1\neq -1 porque, se y_1=-1, a equação seria e^{-2} - x_1 + x_1 =3 e^{-2}=3 que é impossível):
x_1 = \dfrac{3 - e^{2y_1}}{y_1+1}.
Substituo essa expressão para x_1 na fórmula de a do Passo 4. Após simplificar (faça com calma: colocar tudo sobre (y_1+1)^2 e combinar termos), obtém-se
\boxed{\,a(y_1)=\dfrac{3 + 6 y_1 + e^{2y_1}\bigl(2 y_1^2 -1\bigr)}{(y_1+1)^2}\,}
Isto significa: para cada ponto de tangência com ordenada y_1 (qualquer y_1\in\mathbb{R}, exceto y_1=-1 que não ocorre na curva), a tangente corta o eixo x no ponto (a(y_1),0).

Passo 6

Analisar a função a(y) para entender quais pontos (a,0) da abscissa a podem ser alcançados por retas tangentes da curva.
Propriedades importantes (intuição e limites):
  • A função a(y) é contínua onde é definida (toda \mathbb{R} exceto possivelmente y=-1, mas y=-1 não é ordenada de ponto da curva).
  • Comportamentos limites:
    • Quando y\to -1 (valor proibido pela expressão de x), o denominador (y+1)^2\to 0 enquanto o numerador tende a um valor finito não nulo (calcule em y=-1: 3+6(-1)+e^{-2}(2-1)= -3 + e^{-2}\neq 0), então a(y)\to -\infty quando y\to -1 pelos dois lados (há assim uma “barra” para a perto de -\infty).
    • Quando y\to +\infty, o termo dominante do numerador é e^{2y}(2y^2) e o denominador é (y+1)^2, logo a(y)\to +\infty.
    • Quando y\to -\infty, o termo exponencial vai para 0 e o numerador comporta-se como 6y, o denominador como y^2, então a(y)\sim 6/y\to 0 (pela esquerda), ou seja a(y)\to 0^{-}.
Conclusão qualitativa:
  • No intervalo y>-1 a função a(y) é contínua, com limite -\infty quando y\to -1^+ e +\infty quando y\to +\infty. Pelas propriedades de funções contínuas, a imagem de (-1,+\infty) por a(y) é todo \mathbb{R}. Assim, para qualquer abscissa a\in\mathbb{R} existe pelo menos um y_1>-1 tal que a=a(y_1).
  • No intervalo y<-1 tem-se comportamento limite \lim_{y\to -\infty} a(y)=0^- e \lim_{y\to -1^-} a(y)=-\infty, portanto a imagem em (-\infty,-1) é (-\infty,0). Somando as duas partes, a imagem global de a(y) quando y percorre todos os valores de ordenadas possíveis na curva é todo \mathbb{R}.
  • Observação importante: o único ponto do eixo x que pertence à curva é x=2 (caso y=0), portanto o caso em que a reta tangente passa por (a,0) com (a,0) já pertencente à curva é o caso da Parte (a) (que já tratámos). Para a\neq 2, a tangente que passa por (a,0) corresponde a um ponto de tangência com y_1\neq 0.
Além disso, verificar se há tangentes verticais: isso ocorreria se 2 e^{2y}+x=0 em algum ponto da curva (denominador da fórmula de y' nulo). Substituindo x pela expressão em y resulta numa equação do tipo e^{2y}(2y+1)=-3, que não tem solução real porque o lado esquerdo está limitado (o produto não pode atingir -3). Portanto NÃO há tangentes verticais, a fórmula de a(y) é válida para todo ponto de tangência da curva.

Passo 7

Interpretação final do item (b) e procedimento prático para obter a reta tangente que passa por um ponto (a,0) não pertencente à curva.
  • Para obter concretamente a(s) reta(s) tangente(s) que passam por um ponto (a,0) dado ( a\neq 2 ou mesmo a=2, caso queira recuperar (a)):
    1. Procure y_1 real (com y_1\neq -1) tal que
    a = \dfrac{3 + 6 y_1 + e^{2y_1}\bigl(2 y_1^2 -1\bigr)}{(y_1+1)^2}.
    1. Para cada solução y_1 obtenha x_1 pela fórmula
    x_1 = \dfrac{3 - e^{2y_1}}{y_1+1}.
    1. A reta tangente procurada tem equação
    y = y_1 + y'(x_1,y_1)\,(x-x_1),com y'(x_1,y_1) = -\dfrac{y_1+1}{2 e^{2y_1}+x_1}.
  • Pelo estudo de limites e continuidade acima, para todo a\in\mathbb{R} existe pelo menos um y_1 que satisfaz a relação — portanto existe pelo menos uma reta tangente que corta o eixo x em (a,0). Se a=2 a reta tangente obtida é a do Passo 3 (ponto de tangência (2,0)). Se a\neq 2 a(s) reta(s) tangente(s) que passam por (a,0) correspondem a solução(ões) y_1 com y_1\neq 0.

Resposta

(a) y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}.
(b) Para um ponto de abscissa a do eixo x ser intercepto de uma tangente, existe y_1\in\mathbb{R}\setminus\{-1\} tal que
a=\dfrac{3 + 6 y_1 + e^{2y_1}\bigl(2 y_1^2 -1\bigr)}{(y_1+1)^2}.
Dado tal y_1, o ponto de tangência tem abscissa
x_1=\dfrac{3-e^{2y_1}}{y_1+1},
a inclinação é
y'=-\dfrac{y_1+1}{2 e^{2y_1}+x_1},
e a reta tangente é
y=y_1 + y'\,(x-x_1).
Além disso, para todo a\in\mathbb{R} existe pelo menos um y_1 que produz tal reta; o caso a=2 corresponde ao ponto de tangência (2,0) (item (a)), enquanto para a\neq 2 os pontos (a,0) não pertencem à curva e ainda assim existe pelo menos uma reta tangente da curva que passa por (a,0).

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