Determine a primitiva mais geral:
Passo 1
O enunciado dá a integral definida
ou seja:
- a função integranda é
; - a variável de integração é
; - os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O que se pede é calcular o valor dessa integral definida. Para isso vamos primeiro encontrar uma primitiva (a primitiva mais geral) da função e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Estratégia: usar substituição para simplificar a integral. A ideia da substituição é trocar a expressão composta
por uma nova variável
, de modo que a integral fique numa forma simples de integrar. Essa técnica está ligada à regra da cadeia na diferenciação — aqui a usamos “ao contrário” para integrar.
Escolhemos a substituição
Agora vamos relacionar
e
.
Passo 3
Diferenciando
em relação a
obtemos
Desse modo
Também note que
. Substituindo na integral (ainda sem aplicar limites, para achar a primitiva geral) temos
Passo 4
Calcule a integral em
. Lembre que a primitiva de
com
é
. No caso
temos
Portanto
Voltando para a variável
(pois
), obtemos a primitiva mais geral
Verificação rápida (para ter confiança): calcule
.
que coincide com a integranda. Tudo certo.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para obter a integral definida:
onde
(a constante cancela).
Calcule
e
:
Portanto
Para somar, usem o mínimo múltiplo comum
: