Determine a primitiva mais geral:
\int_{1}^{2} \frac{1}{(3 t+1)^{2}} d t

Passo 1

O enunciado dá a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{1}{(3t+1)^{2}}\,dt,
ou seja:
  • a função integranda é \dfrac{1}{(3t+1)^{2}};
  • a variável de integração é t;
  • os limites de integração são t=1 (inferior) e t=2 (superior).
    O que se pede é calcular o valor dessa integral definida. Para isso vamos primeiro encontrar uma primitiva (a primitiva mais geral) da função e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Estratégia: usar substituição para simplificar a integral. A ideia da substituição é trocar a expressão composta 3t+1 por uma nova variável u, de modo que a integral fique numa forma simples de integrar. Essa técnica está ligada à regra da cadeia na diferenciação — aqui a usamos “ao contrário” para integrar.
Escolhemos a substituição
u = 3t+1.
Agora vamos relacionar du e dt.

Passo 3

Diferenciando u em relação a t obtemos
du = 3\,dt.
Desse modo
dt = \frac{du}{3}.
Também note que (3t+1)^{2} = u^{2}. Substituindo na integral (ainda sem aplicar limites, para achar a primitiva geral) temos
\int \frac{1}{(3t+1)^{2}}\,dt = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Calcule a integral em u. Lembre que a primitiva de u^{n} com n\neq -1 é \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. No caso n=-2 temos
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Portanto
\frac{1}{3}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{3}\cdot(-u^{-1}) + C = -\frac{1}{3u} + C.
Voltando para a variável t (pois u=3t+1), obtemos a primitiva mais geral
F(t) = -\frac{1}{3(3t+1)} + C.
Verificação rápida (para ter confiança): calcule F'(t).
F'(t)= -\frac{1}{3}\cdot(-1)(3t+1)^{-2}\cdot 3 = (3t+1)^{-2},
que coincide com a integranda. Tudo certo.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para obter a integral definida:
\int_{1}^{2} \frac{1}{(3t+1)^{2}}\,dt = F(2)-F(1),
onde F(t) = -\dfrac{1}{3(3t+1)} (a constante cancela).
Calcule F(2) e F(1):
F(2) = -\frac{1}{3(3\cdot 2+1)} = -\frac{1}{3\cdot 7} = -\frac{1}{21},
F(1) = -\frac{1}{3(3\cdot 1+1)} = -\frac{1}{3\cdot 4} = -\frac{1}{12}.
Portanto
F(2)-F(1) = -\frac{1}{21} -\left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{21} + \frac{1}{12}.
Para somar, usem o mínimo múltiplo comum 84:
-\frac{1}{21} + \frac{1}{12} = -\frac{4}{84} + \frac{7}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}.

Resposta

\dfrac{1}{28}

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