Determine a primitiva mais geral:
\int \frac{4 y d y}{\sqrt{2 y^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral da integral
\int \frac{4y\,dy}{\sqrt{2y^{2}+1}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é y.
  • O integrando é \dfrac{4y}{\sqrt{2y^{2}+1}}.
  • A expressão dentro da raiz é 2y^{2}+1, que é estritamente positiva para todo y (pois 2y^{2}+1>0), então não há problema de domínio para a raiz real.
  • A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) geral, ou seja, uma função F(y) tal que F'(y)=\dfrac{4y}{\sqrt{2y^{2}+1}}, mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar uma substituição (trocar a expressão complicada por uma variável nova) porque o integrando tem uma função composta do tipo \sqrt{\text{algo}} e aparece seu provável derivado no numerador. A ideia da substituição é reescrever a integral em termos de uma nova variável u de forma que fique uma integral simples de potências.
Escolho a substituição
u = 2y^{2}+1,
porque u é justamente o “algo” dentro da raiz.

Passo 3

Agora calculo o diferencial du a partir de u=2y^{2}+1. Derivando em relação a y:
\frac{du}{dy} = 4y.
Isso significa que, em termos de diferenciais,
du = 4y\,dy.
Observação importante: isso é ótimo porque o numerador do integrando é exatamente 4y\,dy. Assim posso substituir direto 4y\,dy por du.

Passo 4

Faço a substituição na integral: trocar 4y\,dy por du e 2y^{2}+1 por u. A integral original vira
\int \frac{4y\,dy}{\sqrt{2y^{2}+1}} = \int \frac{du}{\sqrt{u}}.
Reescrevo \dfrac{1}{\sqrt{u}} como potência para aplicar a regra de integração:
\frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-1/2},
logo a integral é
\int u^{-1/2}\,du.

Passo 5

Uso a regra de potência para integrar: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1}+C = \frac{u^{1/2}}{1/2}+C.
Dividir por 1/2 é o mesmo que multiplicar por 2, portanto
\int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2}+C.

Passo 6

Agora volto à variável original y substituindo u=2y^{2}+1 de volta:
2u^{1/2}+C = 2\sqrt{u}+C = 2\sqrt{2y^{2}+1}+C.
Essa é a primitiva encontrada.

Passo 7

Verificação rápida (muito útil na prova): derivar a primitiva para checar se volta ao integrando. Seja F(y)=2\sqrt{2y^{2}+1}. Então, usando a regra da cadeia:
F'(y)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{2y^{2}+1}}\cdot(4y)=\frac{4y}{\sqrt{2y^{2}+1}}.
Como isso coincide com o integrando, a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para prova: quando você vê \int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\,dx (ou em geral \int \dfrac{f'(x)}{[f(x)]^{\alpha}}\,dx), pense em u=f(x). Aqui f(x)=2y^{2}+1 e f'(x)=4y, então a substituição é imediata. Exemplo rápido: \int \dfrac{6x}{\sqrt{3x^{2}+2}}dx segue o mesmo padrão e resulta em 2\sqrt{3x^{2}+2}+C.

Resposta

2\sqrt{2y^{2}+1}+C

Exercícios relacionados