Determine a primitiva mais geral:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva mais geral da integral
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - A expressão dentro da raiz é
, que é estritamente positiva para todo (pois ), então não há problema de domínio para a raiz real. - A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) geral, ou seja, uma função
tal que , mais uma constante arbitrária .
Passo 2
Estratégia escolhida: usar uma substituição (trocar a expressão complicada por uma variável nova) porque o integrando tem uma função composta do tipo
e aparece seu provável derivado no numerador. A ideia da substituição é reescrever a integral em termos de uma nova variável
de forma que fique uma integral simples de potências.
Escolho a substituição
porque
é justamente o “algo” dentro da raiz.
Passo 3
Agora calculo o diferencial
a partir de
. Derivando em relação a
:
Isso significa que, em termos de diferenciais,
Observação importante: isso é ótimo porque o numerador do integrando é exatamente
. Assim posso substituir direto
por
.
Passo 4
Faço a substituição na integral: trocar
por
e
por
. A integral original vira
Reescrevo
como potência para aplicar a regra de integração:
logo a integral é
Passo 5
Uso a regra de potência para integrar: para qualquer
,
Aqui
, então
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto
Passo 6
Agora volto à variável original
substituindo
de volta:
Essa é a primitiva encontrada.
Passo 7
Verificação rápida (muito útil na prova): derivar a primitiva para checar se volta ao integrando. Seja
. Então, usando a regra da cadeia:
Como isso coincide com o integrando, a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para prova: quando você vê
(ou em geral
), pense em
. Aqui
e
, então a substituição é imediata. Exemplo rápido:
segue o mesmo padrão e resulta em
.