DETERMINE A PRIMITIVA POR INTEGRAÇÃO POR PARTES E VERIFIQUE DERIVANDO
\int x^{3} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma primitiva por integração por partes e verificar derivando. A informação dada é:
  • A integral a calcular é \displaystyle \int x^{3} e^{2x}\,dx.
    O pedido é:
  • Encontrar uma primitiva de \displaystyle \int x^{3} e^{2x}\,dx usando o método de integração por partes.
  • Verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que a derivada é x^{3}e^{2x}.

Passo 2

Relembrando a fórmula de integração por partes e o que cada termo significa:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (gerando du) e dv é a parte que integramos (gerando v). A recomendação prática para escolher u é aplicar a regra “polinômio antes de exponencial”: escolher u como o polinômio e dv como o exponencial, porque ao diferenciar o polinômio o grau cai, simplificando o trabalho.
Escolhemos:
u = x^{3},\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Calculamos du e v:
du = 3x^{2}\,dx, \qquad v = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int x^{3}e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du = x^{3}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 3x^{2}\,dx.
Simplificando coeficientes:
\int x^{3}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{2}\int x^{2}e^{2x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \int x^{2}e^{2x}\,dx. Repetimos integração por partes, com a mesma estratégia:
u = x^{2},\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x^{2}e^{2x}\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 2x\,dx.
Simplificando:
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.
Substituindo esse resultado no que obtivemos no Passo 2:
\int x^{3}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx\right).
Distribuindo o -\dfrac{3}{2}:
\int x^{3}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{4}x^{2}e^{2x} + \frac{3}{2}\int x e^{2x}\,dx.

Passo 4

Falta calcular \displaystyle \int x e^{2x}\,dx. Integramos por partes uma vez mais:
u = x,\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
A última integral é simples:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.
Portanto
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 5

Substituímos o resultado do Passo 4 no final do Passo 3:
\int x^{3}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{4}x^{2}e^{2x} + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right) + C.
Calculamos os coeficientes:
\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4},\qquad \frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{8}.
Assim
\int x^{3}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{3}e^{2x} - \frac{3}{4}x^{2}e^{2x} + \frac{3}{4}x e^{2x} - \frac{3}{8}e^{2x} + C.
Podemos fatorar e^{2x} para ficar mais elegante:
\int x^{3}e^{2x}\,dx = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{3}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right) + C.

Passo 6

Verificação derivando a primitiva encontrada. Seja
F(x)=e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{3}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right).
Derivando usando a regra do produto: F'(x)=e^{2x}\cdot 2\cdot P(x) + e^{2x}\cdot P'(x), onde P(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{3}{4}x^{2}+\dfrac{3}{4}x-\dfrac{3}{8}.
Calculamos P'(x):
P'(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}.
Agora
2P(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}.
Somando 2P(x)+P'(x):
2P(x)+P'(x)=\bigl(x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2}x-\tfrac{3}{4}\bigr) +\bigl(\tfrac{3}{2}x^{2}-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{3}{4}\bigr)=x^{3}.
Portanto
F'(x)=e^{2x}\cdot\bigl(2P(x)+P'(x)\bigr)=e^{2x}\cdot x^{3}=x^{3}e^{2x},
que é justamente o integrando. A verificação está concluída.

Resposta

\boxed{\displaystyle \int x^{3}e^{2x}\,dx = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{3}-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)+C}

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