DETERMINE A PRIMITIVA POR INTEGRAÇÃO POR PARTES E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma primitiva por integração por partes e verificar derivando. A informação dada é:
- A integral a calcular é
.
O pedido é: - Encontrar uma primitiva de
usando o método de integração por partes. - Verificar a primitiva encontrada derivando-a e mostrando que a derivada é
.
Passo 2
Relembrando a fórmula de integração por partes e o que cada termo significa:
Aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (gerando
) e
é a parte que integramos (gerando
). A recomendação prática para escolher
é aplicar a regra “polinômio antes de exponencial”: escolher
como o polinômio e
como o exponencial, porque ao diferenciar o polinômio o grau cai, simplificando o trabalho.
Escolhemos:
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando coeficientes:
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes, com a mesma estratégia:
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Substituindo esse resultado no que obtivemos no Passo 2:
Distribuindo o
:
Passo 4
Falta calcular
. Integramos por partes uma vez mais:
Então
Aplicando a fórmula:
A última integral é simples:
Portanto
Passo 5
Substituímos o resultado do Passo 4 no final do Passo 3:
Calculamos os coeficientes:
Assim
Podemos fatorar
para ficar mais elegante:
Passo 6
Verificação derivando a primitiva encontrada. Seja
Derivando usando a regra do produto:
, onde
.
Calculamos
:
Agora
Somando
:
Portanto
que é justamente o integrando. A verificação está concluída.