DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar a primitiva por mudança de variável e depois verificar essa primitiva derivando-a. O integrando dado é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Temos uma expressão do tipo
multiplicando . - O objetivo é encontrar uma função
tal que , usando mudança de variável, e então verificar diferenciando .
Passo 2
Ideia da mudança de variável (explicação didática e motivação):
- A técnica de substituição serve para simplificar integrais quando aparece uma parte que é função composta e outra parte que lembra a derivada dessa função interior.
- Em termos gerais, se tivermos um integrando da forma
, vale a substituição , porque e a integral vira , que costuma ser mais simples. - Aqui a expressão
é uma candidata natural para ser a função interior , porque sua derivada é , que aparece multiplicando. Então a substituição deve eliminar a parte complicada e deixar uma potência simples de .
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
- Definir
- Calcular
. Diferenciando em relação a :
- Observe que
. Isso significa que aparece exatamente no integrando, então a mudança de variável é perfeita.
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
e integrar:
- Substituindo na integral original,
- Usar a regra do poder para integrais: para
,
- Aqui
, logo
Passo 5
Voltar para a variável
e escrever a primitiva final:
- Substituindo
de volta,
Passo 6
Verificação derivando
(aplicar a regra da cadeia):
- Calcular
. Usar que a derivada de é . - Aqui
, , . Então
- Simplificando os coeficientes:
- Essa derivada é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.