DETERMINE A PRIMITIVA POR MUDANÇA DE VARIÁVEL E VERIFIQUE DERIVANDO
\int(6 x+7)\left(3 x^{2}+7 x\right)^{-3} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a primitiva por mudança de variável e depois verificar essa primitiva derivando-a. O integrando dado é
(6 x+7)\left(3 x^{2}+7 x\right)^{-3}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Temos uma expressão do tipo (6x+7) multiplicando \left(3x^{2}+7x\right)^{-3}.
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=(6 x+7)\left(3 x^{2}+7 x\right)^{-3}, usando mudança de variável, e então verificar diferenciando F(x).

Passo 2

Ideia da mudança de variável (explicação didática e motivação):
  • A técnica de substituição serve para simplificar integrais quando aparece uma parte que é função composta e outra parte que lembra a derivada dessa função interior.
  • Em termos gerais, se tivermos um integrando da forma f'(x)\,g(f(x)), vale a substituição \;u=f(x), porque du=f'(x)\,dx e a integral vira \int g(u)\,du, que costuma ser mais simples.
  • Aqui a expressão \left(3 x^{2}+7 x\right) é uma candidata natural para ser a função interior f(x), porque sua derivada é 6x+7, que aparece multiplicando. Então a substituição deve eliminar a parte complicada e deixar uma potência simples de u.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
  • Definir
u = 3 x^{2} + 7 x.
  • Calcular du. Diferenciando em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\bigl(3 x^{2} + 7 x\bigr)\,dx = (6x+7)\,dx.
  • Observe que du=(6x+7)\,dx. Isso significa que (6x+7)\,dx aparece exatamente no integrando, então a mudança de variável é perfeita.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u e integrar:
  • Substituindo na integral original,
\int (6 x+7)\left(3 x^{2}+7 x\right)^{-3} dx = \int u^{-3}\,du.
  • Usar a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
  • Aqui n=-3, logo
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}\,u^{-2} + C.

Passo 5

Voltar para a variável x e escrever a primitiva final:
  • Substituindo u=3x^{2}+7x de volta,
F(x) = -\frac{1}{2}\left(3 x^{2}+7 x\right)^{-2} + C.

Passo 6

Verificação derivando F(x) (aplicar a regra da cadeia):
  • Calcular F'(x). Usar que a derivada de A\,(g(x))^{m} é A\cdot m\,(g(x))^{m-1}\cdot g'(x).
  • Aqui A=-\tfrac{1}{2}, g(x)=3x^{2}+7x, m=-2. Então
F'(x) = -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)\bigl(3 x^{2}+7 x\bigr)^{-3}\cdot\bigl(6x+7\bigr).
  • Simplificando os coeficientes:
F'(x) = (6x+7)\bigl(3 x^{2}+7 x\bigr)^{-3}.
  • Essa derivada é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\left(3 x^{2}+7 x\right)^{-2}+C

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