DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar uma primitiva (uma antiderivada) da função dada e (ii) verificar a primitiva derivando-a. A integral dada é a seguinte:
Informações relevantes que temos no enunciado:
- Os termos da função a integrar são
, e . - É pedido que se determine a primitiva (ou seja, uma função
tal que seja a função dentro da integral) e que se verifique a resposta calculando .
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Ou seja,
onde
e
são constantes.
- Regra da potência para integrais (power rule): para
,
Aqui
é qualquer número real diferente de
,
é a variável e
é a constante de integração.
- A integral de uma constante
é , isto é,
Observação sobre expoentes negativos: a fórmula da potência vale também para
negativo, contanto que
. Por exemplo, para
vale
.
Passo 3
Aplicando a linearidade, separamos a integral em três integrais:
Vamos resolver cada uma delas uma a uma.
Passo 4
Integral do primeiro termo
.
Usamos a constante para fora da integral e a regra da potência com
:
Fazendo a multiplicação de constantes:
Portanto o resultado é
Passo 5
Integral do segundo termo
.
Novamente tiramos a constante e aplicamos a regra da potência com
:
Calcule a multiplicação das constantes:
Logo o resultado é
Passo 6
Integral do terceiro termo
.
É uma constante, então
Passo 7
Somando as três primitivas (e reunindo as constantes de integração em uma só constante
), obtemos a primitiva geral:
Opcionalmente pode-se reescrever o termo com expoente negativo como
, mas não é necessário.
Passo 8
Verificação derivando
. Usamos a regra da potência para derivadas: se
então
. Aplicamos termo a termo.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Derivada do terceiro termo:
Derivada da constante
é zero.
Somando as derivadas term a term:
que é exatamente a função que estava dentro da integral. Assim a primitiva foi verificada.