DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[\frac{2}{3} x^{3}+\frac{1}{4} x^{-3}+\frac{1}{6}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar uma primitiva (uma antiderivada) da função dada e (ii) verificar a primitiva derivando-a. A integral dada é a seguinte:
\int\left[\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{-3}+\frac{1}{6}\right]dx.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • Os termos da função a integrar são \frac{2}{3}x^{3}, \frac{1}{4}x^{-3} e \frac{1}{6}.
  • É pedido que se determine a primitiva (ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a função dentro da integral) e que se verifique a resposta calculando F'(x).

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes.
  • Regra da potência para integrais (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é qualquer número real diferente de -1, x é a variável e C é a constante de integração.
  • A integral de uma constante k é kx, isto é,
\int k\,dx = kx + C.
Observação sobre expoentes negativos: a fórmula da potência vale também para n negativo, contanto que n\neq -1. Por exemplo, para n=-3 vale \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2)+C.

Passo 3

Aplicando a linearidade, separamos a integral em três integrais:
\int\frac{2}{3}x^{3}\,dx + \int\frac{1}{4}x^{-3}\,dx + \int\frac{1}{6}\,dx.
Vamos resolver cada uma delas uma a uma.

Passo 4

Integral do primeiro termo \frac{2}{3}x^{3}.
Usamos a constante para fora da integral e a regra da potência com n=3:
\int\frac{2}{3}x^{3}\,dx = \frac{2}{3}\int x^{3}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4} + C_1.
Fazendo a multiplicação de constantes:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.
Portanto o resultado é
\frac{1}{6}x^{4}.

Passo 5

Integral do segundo termo \frac{1}{4}x^{-3}.
Novamente tiramos a constante e aplicamos a regra da potência com n=-3:
\int\frac{1}{4}x^{-3}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{-3}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{-2}}{-2} + C_2.
Calcule a multiplicação das constantes:
\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{-2} = -\frac{1}{8}.
Logo o resultado é
-\frac{1}{8}x^{-2}.

Passo 6

Integral do terceiro termo \frac{1}{6}.
É uma constante, então
\int\frac{1}{6}\,dx = \frac{1}{6}x + C_3.

Passo 7

Somando as três primitivas (e reunindo as constantes de integração em uma só constante C), obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{1}{6}x^{4}-\frac{1}{8}x^{-2}+\frac{1}{6}x + C.
Opcionalmente pode-se reescrever o termo com expoente negativo como -\dfrac{1}{8}x^{-2}=-\dfrac{1}{8}\dfrac{1}{x^{2}}, mas não é necessário.

Passo 8

Verificação derivando F(x). Usamos a regra da potência para derivadas: se G(x)=x^{n} então G'(x)=n x^{n-1}. Aplicamos termo a termo.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{6}x^{4}\right)=\frac{1}{6}\cdot 4x^{3}=\frac{4}{6}x^{3}=\frac{2}{3}x^{3}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{8}x^{-2}\right)=-\frac{1}{8}\cdot(-2)x^{-3}=\frac{2}{8}x^{-3}=\frac{1}{4}x^{-3}.
Derivada do terceiro termo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{6}x\right)=\frac{1}{6}.
Derivada da constante C é zero.
Somando as derivadas term a term:
F'(x)=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{-3}+\frac{1}{6},
que é exatamente a função que estava dentro da integral. Assim a primitiva foi verificada.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}x^{4}-\frac{1}{8}x^{-2}+\frac{1}{6}x + C
\displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{6}x^{4}-\frac{1}{8}x^{-2}+\frac{1}{6}x + C\right)=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{-3}+\frac{1}{6}

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