DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
\int\left[\frac{2}{3} x^{3}+\frac{1}{4} x^{-3}+\frac{1}{5}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva da função que está dentro da integral e (2) verificar a primitiva encontrada derivando-a. A integral dada é
\int\left[\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{-3}+\frac{1}{5}\right]dx.
Informações importantes fornecidas:
  • A integranda é a soma de três termos: \dfrac{2}{3}x^{3}, \dfrac{1}{4}x^{-3} e \dfrac{1}{5}.
  • Deve ser encontrada uma primitiva (ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda) e depois mostrar que F'(x) realmente recupera a integranda.

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (e explicando com calma):
  • Regra da linearidade da integral: multiplicadores saem da integral e integrais de soma são soma de integrais. Em símbolos:
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes.
  • Regra da potência (para antiderivadas): se n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real (o expoente) e C é a constante de integração.
  • Integral de constante: para constante k,
\int k\,dx = kx + C.
Aplicaremos essas regras termo a termo na integranda.

Passo 3

Primitiva do primeiro termo \dfrac{2}{3}x^{3}.
Usando linearidade e a regra da potência com n=3:
\int \frac{2}{3}x^{3}\,dx = \frac{2}{3}\int x^{3}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4}.
Agora simplificar o fator numérico:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.
Portanto a primitiva do primeiro termo é \dfrac{1}{6}x^{4}.

Passo 4

Primitiva do segundo termo \dfrac{1}{4}x^{-3}.
Aqui n=-3, aplicando a regra da potência:
\int \frac{1}{4}x^{-3}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{-3}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{-2}}{-2}.
Simplificando o número:
\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{-2} = -\frac{1}{8}.
Logo a primitiva do segundo termo é -\dfrac{1}{8}x^{-2}. (Também se pode escrever como -\dfrac{1}{8}\,x^{-2} = -\dfrac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}}.)

Passo 5

Primitiva do terceiro termo \dfrac{1}{5}.
Integral de constante:
\int \frac{1}{5}\,dx = \frac{1}{5}x.
Pelo princípio da soma (linearidade), uma primitiva da integranda é a soma das primitivas dos três termos, acrescida de uma constante C. (A expressão final ficará na seção de resposta.)

Passo 6

Verificação derivando: vamos derivar cada um dos três termos primitivos encontrados e verificar que somam a integranda original.
Derivada de \dfrac{1}{6}x^{4}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{6}x^{4}\right) = \frac{1}{6}\cdot 4x^{3} = \frac{4}{6}x^{3} = \frac{2}{3}x^{3}.
Derivada de -\dfrac{1}{8}x^{-2}:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{8}x^{-2}\right) = -\frac{1}{8}\cdot(-2)x^{-3} = \frac{2}{8}x^{-3} = \frac{1}{4}x^{-3}.
Derivada de \dfrac{1}{5}x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}x\right) = \frac{1}{5}.
Somando as três derivadas obtemos
\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{4}x^{-3}+\frac{1}{5},
que é exatamente a integranda original. Assim a primitiva encontrada está correta.

Resposta

F(x)=\frac{1}{6}x^{4}-\frac{1}{8}x^{-2}+\frac{1}{5}x+C

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