DETERMINE A PRIMITIVA E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar uma primitiva da função que está dentro da integral e (2) verificar a primitiva encontrada derivando-a. A integral dada é
Informações importantes fornecidas:
- A integranda é a soma de três termos:
, e . - Deve ser encontrada uma primitiva (ou seja, uma função
tal que seja a integranda) e depois mostrar que realmente recupera a integranda.
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (e explicando com calma):
- Regra da linearidade da integral: multiplicadores saem da integral e integrais de soma são soma de integrais. Em símbolos:
onde
e
são constantes.
- Regra da potência (para antiderivadas): se
,
Aqui
é um número real (o expoente) e
é a constante de integração.
- Integral de constante: para constante
,
Aplicaremos essas regras termo a termo na integranda.
Passo 3
Primitiva do primeiro termo
.
Usando linearidade e a regra da potência com :
Usando linearidade e a regra da potência com
Agora simplificar o fator numérico:
Portanto a primitiva do primeiro termo é
.
Passo 4
Primitiva do segundo termo
.
Aqui , aplicando a regra da potência:
Aqui
Simplificando o número:
Logo a primitiva do segundo termo é
. (Também se pode escrever como
.)
Passo 5
Primitiva do terceiro termo
.
Integral de constante:
Integral de constante:
Pelo princípio da soma (linearidade), uma primitiva da integranda é a soma das primitivas dos três termos, acrescida de uma constante
. (A expressão final ficará na seção de resposta.)
Passo 6
Verificação derivando: vamos derivar cada um dos três termos primitivos encontrados e verificar que somam a integranda original.
Derivada de
:
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando as três derivadas obtemos
que é exatamente a integranda original. Assim a primitiva encontrada está correta.