Determine os principais elementos e esboce a cônica
, cuja equação polar é dada por:
Passo 1
Enunciado e o que se pede.\n
Dado: a cônica em coordenadas polares
Dado: a cônica em coordenadas polares
Pede-se: determinar os principais elementos da cônica e esboçá‑la. Ou seja, vamos achar — entre outros — o tipo da cônica, a excentricidade, a(s) directriz(es), o(s) foco(s), o centro, os vértices relevantes, as assíntotas e a orientação/linha de simetria, e dar indicações para o esboço.
Passo 2
Interpretando a forma polar padrão e definição (aula rápida).\n
Definição prática: uma cônica com foco na origem e directriz horizontal pode ser escrita na forma
Definição prática: uma cônica com foco na origem e directriz horizontal
onde:
-
é a excentricidade (número positivo que determina o tipo: elipse, parábola, hipérbole); -
é a distância da directriz à origem (a directriz é a reta quando o sinal no denominador é ); - a relação vem da definição:
. Para a directriz temos distância ao directrix igual a . Então:
Aqui cada símbolo significa:
é a distância do ponto ao foco (origem),
é o ângulo polar,
.
Passo 3
Identificação imediata de
e
.\n
Compare a equação dada
Compare a equação dada
com a forma
. Igualando coeficientes obtemos
Conclusões imediatas:
-
então a cônica é uma hipérbole. - O foco usado na representação polar é a origem
. - A directriz correspondente (usada na forma) é a reta
Passo 4
Passagem para coordenadas cartesianas (mostrar o passo a passo da álgebra).\n
Usamos e
. Começamos pela equação dada e manipulamos:
Usamos
Substituindo
obtemos
Agora
, logo
Atenção importante (didática): ao elevar ao quadrado vamos introduzir soluções extranhas (pois a raiz é sempre não negativa), então depois de elevar devemos exigir a condição
para que a igualdade original seja válida. Agora elevando ao quadrado:
Passando tudo para um lado:
Passo 5
Colocando em forma canônica da hipérbole (completa quadrados).\n
Partimos de
Partimos de
Agrupamos os termos em
para completar quadrado:
Complete o quadrado em
:
Substituindo:
Isolando a parte canônica:
multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por
para ficar na forma padrão:
Portanto a hipérbole está na forma padrão
com
Passo 6
Cálculo de
(distância do centro aos focos), foci e verificação do foco na origem.\n
Para hipérbole vertical usamos . Assim
Para hipérbole vertical usamos
Centro:
. Focos:
, ou seja
Comentário: aparece exatamente a origem
como um dos focos — coerente com a forma polar onde o foco está na origem.
Passo 7
Vértices e relação com a equação polar (condição de validade após o quadrado).\n
Vértices (centro ao longo do eixo vertical):
Vértices (centro
Porém lembrando da etapa em que exigimos
(pois
), devemos ter
Logo o vértice
tem
e NÃO satisfaz a equação polar original (é uma solução extranha introduzida ao elevar ao quadrado). Assim, a representação polar com
positiva descreve a ramificação da hipérbole com
; o vértice que realmente aparece no gráfico polar é
Resumo: a equação cartesiana completa pertence a uma hipérbole com duas ramificações, mas a forma polar com
(com
) representa a ramificação que tem vértice em
. A outra “ramificação” surge se permitirmos
(equivalente a ângulo
).
Passo 8
Assíntotas: obtenção pela forma canônica e pela condição no denominador (intuição).\n
A partir da forma canônica a assíntota da hipérbole (transversal vertical) tem equações
A partir da forma canônica a assíntota da hipérbole (transversal vertical) tem equações
Calculamos
. Portanto as assíntotas são
Observação paralela pela forma polar: os ângulos em que o denominador se anula dão as direções assintóticas. Aqui
ou
, direções com inclinação
. Essas são as direções das assíntotas (as retas assintóticas são paralelas a esses raios, mas passam pelo centro
, não pela origem).
Passo 9
Eixo de simetria, directriz e domínio em
(para esboçar).\n
- Eixo de simetria: reta vertical
(eixo que passa pelos vértices e focos); a hipérbole tem eixo vertical centrado em . Isso também vem do fato de só aparecer na equação polar (simetria vertical). \n - Directriz (da forma polar):
. Como , a ramificação da hipérbole está do lado oposto à directriz, isto é, a ramificação representada em tem . \n - Domínio de
para : exigir . Os ângulos com (intervalo ) levariam a e representam a outra ramificação se reescritos com ângulo somado de .
Passo 10
Como esboçar (passo a passo prático e dicas).\n
- Marcar o foco na origem
. 2) Desenhar a directriz horizontal . 3) Marcar o centro e o vértice que pertence à forma polar . 4) Traçar as assíntotas . 5) Desenhar a ramificação da hipérbole que fica abaixo da directriz ( ), passando por e aproximando-se das assíntotas à medida que se afasta do centro. 6) Se desejar a outra ramificação (que aparece quando se permite representação com ), ela fica acima de e tem vértice em (mas não aparece na forma dada se assumirmos ).
Resposta
Tipo: hipérbole; excentricidade
.\n
Foco (na forma polar): . Outro foco:
.\n
Directriz usada na forma polar: .\n
Equação cartesiana (canônica):
Foco (na forma polar):
Directriz usada na forma polar:
Equação cartesiana (canônica):
Centro:
.\n
Vértices: (presente na forma polar com
) e
(solução da equação cartesiana, mas não válida para
).\n
Assíntotas: \n
Observação sobre domínio: a forma polar dá quando
(ou seja
); portanto a representação polar com
descreve a única ramificação da hipérbole com
, que é a que deve ser esboçada.
Vértices:
Assíntotas:
Observação sobre domínio: a forma polar dá